Решение задач по геометрии: треугольник и трапеция

Ниже представлены решения первых пяти задач из вашего списка, оформленные для записи в тетрадь. Задача 1. Дано: треугольник прямоугольный, гипотенуза \(c = 15\), катет \(a = 12\). Найти высоту \(h\), проведенную к гипотенузе. Решение: 1) Найдем второй катет \(b\) по теореме Пифагора: \[b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9\] 2) Площадь прямоугольного треугольника можно найти двумя способами: \[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h\] Отсюда высота \(h\): \[h = \frac{a \cdot b}{c} = \frac{12 \cdot 9}{15} = \frac{108}{15} = 7,2\] Ответ: 7,2. Задача 2. Дано: \(ABCD\) — трапеция (\(AB \parallel CD\)), \(AB = 16\), \(CD = 12\), \(BD = 21\). Найти \(MD\), где \(M\) — точка пересечения диагоналей. Решение: 1) Треугольники \(AMB\) и \(CMD\) подобны по двум углам (накрест лежащие углы при параллельных прямых). 2) Из подобия следует отношение сторон: \[\frac{MD}{MB} = \frac{CD}{AB}\] Пусть \(MD = x\), тогда \(MB = BD - MD = 21 - x\). \[\frac{x}{21 - x} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}\] \[4x = 3(21 - x)\] \[4x = 63 - 3x\] \[7x = 63\] \[x = 9\] Ответ: 9. Задача 3. Дано: \(\triangle ABC\) — равнобедренный (\(AB = BC = 20\)), \(MK \parallel BC\), \(AM = 8\), \(CK = 6\). Найти \(AC\). Решение: 1) Так как \(MK \parallel BC\), то \(\triangle AMK \sim \triangle ABC\) (по двум углам). 2) Из подобия: \(\frac{AM}{AB} = \frac{AK}{AC}\). 3) Обозначим \(AC = x\). Тогда \(AK = AC - CK = x - 6\). Подставим значения: \[\frac{8}{20} = \frac{x - 6}{x}\] \[\frac{2}{5} = \frac{x - 6}{x}\] \[2x = 5(x - 6)\] \[2x = 5x - 30\] \[3x = 30\] \[x = 10\] Ответ: 10. Задача 4. Дано: \(\triangle ABC\), \(BD = 6\) (высота к \(AC\)), \(AC = 24\), \(BC = 18\). Найти высоту \(AE\) (к \(BC\)). Решение: 1) Выразим площадь треугольника через две разные высоты: \[S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AE\] 2) Подставим известные данные: \[24 \cdot 6 = 18 \cdot AE\] \[144 = 18 \cdot AE\] \[AE = \frac{144}{18} = 8\] Ответ: 8. Задача 5. Дано: \(\triangle ABC\), \(D \in AB\), \(E \in BC\). \(AD = 7\), \(BD = 9\), \(BE = 6\), \(CE = 18\), \(DE = 12\). Найти \(AC\). Решение: 1) Найдем длины сторон \(AB\) и \(BC\): \(AB = AD + BD = 7 + 9 = 16\) \(BC = BE + CE = 6 + 18 = 24\) 2) Рассмотрим \(\triangle DBE\) и \(\triangle ABC\). У них общий угол \(B\). Проверим пропорциональность сторон, прилежащих к углу \(B\): \[\frac{BE}{AB} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}\] \[\frac{BD}{BC} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}\] Стороны пропорциональны, значит \(\triangle DBE \sim \triangle CBA\) (по второму признаку подобия). 3) Из подобия следует: \[\frac{DE}{AC} = \frac{3}{8}\] \[\frac{12}{AC} = \frac{3}{8}\] \[3 \cdot AC = 12 \cdot 8\] \[3 \cdot AC = 96\] \[AC = 32\] Ответ: 32.