Решение Задачи: Расчет Токов в Разветвленной Цепи

Дано: \( \mathcal{E}_1 = -6 \, \text{В} \) \( \mathcal{E}_2 = 5 \, \text{В} \) \( \mathcal{E}_3 = 8 \, \text{В} \) \( R_1 = 2 \, \text{Ом} \) \( R_2 = 1 \, \text{Ом} \) \( R_3 = 1 \, \text{Ом} \) \( R = 1 \, \text{Ом} \) (сопротивление в общей ветви) Найти: \( I_1, I_2, I_3, I \) — ? Решение: Для решения задачи воспользуемся методами Кирхгофа. Обозначим токи в ветвях как \( I_1, I_2, I_3 \), направленные сверху вниз через источники, и общий ток \( I \), протекающий через резистор \( R \). Согласно первому закону Кирхгофа для узла: \[ I_1 + I_2 + I_3 = I \] Применим второй закон Кирхгофа для контуров. Пусть \( U \) — напряжение на параллельном участке (между верхним и нижним узлами разветвления). Тогда для каждой ветви можно записать: \[ I_1 = \frac{\mathcal{E}_1 - U}{R_1} \] \[ I_2 = \frac{\mathcal{E}_2 - U}{R_2} \] \[ I_3 = \frac{\mathcal{E}_3 - U}{R_3} \] Ток в общей ветви по закону Ома: \[ I = \frac{U}{R} \] Подставим выражения для токов в уравнение первого закона Кирхгофа: \[ \frac{\mathcal{E}_1 - U}{R_1} + \frac{\mathcal{E}_2 - U}{R_2} + \frac{\mathcal{E}_3 - U}{R_3} = \frac{U}{R} \] Подставим числовые значения: \[ \frac{-6 - U}{2} + \frac{5 - U}{1} + \frac{8 - U}{1} = \frac{U}{1} \] Раскроем скобки и приведем к общему знаменателю: \[ -3 - 0,5U + 5 - U + 8 - U = U \] \[ 10 - 2,5U = U \] \[ 10 = 3,5U \] \[ U = \frac{10}{3,5} = \frac{100}{35} = \frac{20}{7} \approx 2,86 \, \text{В} \] Теперь найдем значения токов: \[ I = \frac{U}{R} = \frac{20/7}{1} = \frac{20}{7} \approx 2,86 \, \text{А} \] \[ I_1 = \frac{-6 - 20/7}{2} = \frac{-42/7 - 20/7}{2} = \frac{-62}{14} = -\frac{31}{7} \approx -4,43 \, \text{А} \] (Знак минус означает, что ток течет в противоположном направлении). \[ I_2 = \frac{5 - 20/7}{1} = \frac{35/7 - 20/7}{1} = \frac{15}{7} \approx 2,14 \, \text{А} \] \[ I_3 = \frac{8 - 20/7}{1} = \frac{56/7 - 20/7}{1} = \frac{36}{7} \approx 5,14 \, \text{А} \] Проверка: \[ I_1 + I_2 + I_3 = -4,43 + 2,14 + 5,14 = 2,85 \, \text{А} \] (Небольшое расхождение из-за округления, \( 2,85 \approx 2,86 \)). Ответ: \( I_1 \approx -4,43 \, \text{А} \) \( I_2 \approx 2,14 \, \text{А} \) \( I_3 \approx 5,14 \, \text{А} \) \( I \approx 2,86 \, \text{А} \)