Решение задачи: Апертурный угол объектива микроскопа

Хорошо, давайте решим эти задачи по порядку. --- 2. Какой величины должен быть апертурный угол объектива микроскопа для разрешения деталей препарата размером 0,3 мкм, если для освещения препарата используется свет с длиной волны в среднем 0,6 мкм? Объектив работает с водной иммерсией (n=1,33). Дано: Разрешающая способность микроскопа \( \Delta x = 0,3 \) мкм Длина волны света \( \lambda = 0,6 \) мкм Показатель преломления иммерсионной среды \( n = 1,33 \) Найти: Апертурный угол объектива \( \alpha \) Решение: Разрешающая способность микроскопа определяется формулой: \[ \Delta x = \frac{0,61 \lambda}{n \sin \alpha} \] где \( \Delta x \) - разрешающая способность, \( \lambda \) - длина волны света, \( n \) - показатель преломления среды между объективом и препаратом, \( \alpha \) - половина апертурного угла объектива. Из этой формулы выразим \( \sin \alpha \): \[ \sin \alpha = \frac{0,61 \lambda}{n \Delta x} \] Подставим известные значения: \[ \sin \alpha = \frac{0,61 \cdot 0,6 \text{ мкм}}{1,33 \cdot 0,3 \text{ мкм}} \] \[ \sin \alpha = \frac{0,366}{0,399} \] \[ \sin \alpha \approx 0,917 \] Теперь найдем угол \( \alpha \): \[ \alpha = \arcsin(0,917) \] \[ \alpha \approx 66,4^\circ \] Апертурный угол объектива - это полный угол, который охватывает объектив. В формуле используется половина апертурного угла. Если под апертурным углом подразумевается \( 2\alpha \), то: \[ 2\alpha \approx 2 \cdot 66,4^\circ = 132,8^\circ \] Обычно в задачах под апертурным углом подразумевают \( \alpha \), который используется в формуле. Если же имеется в виду полный угол, то это \( 2\alpha \). Уточним, что в формуле \( n \sin \alpha \) - это числовая апертура. Ответ: Апертурный угол объектива \( \alpha \) должен быть примерно \( 66,4^\circ \). --- 3. Микроскоп состоит из объектива с фокусным расстоянием 1 мм и окуляра с фокусным расстоянием 30 мм. Расстояние между фокусами объектива и окуляра 18 см. Найти увеличение, даваемое микроскопом. Дано: Фокусное расстояние объектива \( f_{об} = 1 \) мм \( = 0,1 \) см Фокусное расстояние окуляра \( f_{ок} = 30 \) мм \( = 3 \) см Расстояние между фокусами объектива и окуляра (оптическая длина тубуса) \( L = 18 \) см Найти: Увеличение микроскопа \( \Gamma \) Решение: Увеличение микроскопа \( \Gamma \) определяется как произведение увеличения объектива \( \Gamma_{об} \) и увеличения окуляра \( \Gamma_{ок} \): \[ \Gamma = \Gamma_{об} \cdot \Gamma_{ок} \] Увеличение объектива \( \Gamma_{об} \) для микроскопа можно найти по формуле: \[ \Gamma_{об} = \frac{L}{f_{об}} \] где \( L \) - оптическая длина тубуса (расстояние между задним фокусом объектива и передним фокусом окуляра). Увеличение окуляра \( \Gamma_{ок} \) для наблюдения невооруженным глазом (на расстоянии наилучшего зрения \( D = 25 \) см) определяется как: \[ \Gamma_{ок} = \frac{D}{f_{ок}} \] Подставим значения: \[ \Gamma_{об} = \frac{18 \text{ см}}{0,1 \text{ см}} = 180 \] \[ \Gamma_{ок} = \frac{25 \text{ см}}{3 \text{ см}} \approx 8,33 \] Теперь найдем общее увеличение микроскопа: \[ \Gamma = 180 \cdot 8,33 \] \[ \Gamma \approx 1499,4 \] Ответ: Увеличение, даваемое микроскопом, составляет примерно 1500 раз. --- 4. При прохождении света с длиной волны \( \lambda_1 \) через слой вещества его интенсивность уменьшается вследствие поглощения в 4 раза. Интенсивность света с длиной волны \( \lambda_2 \) по той же причине ослабляется в 3 раза. Найти показатель поглощения \( k_2 \) для света с длиной волны \( \lambda_2 \), если для света с длиной волны \( \lambda_1 \) он равен \( k_1 = 0,02 \) см\(^{-1} \). Дано: Для света с длиной волны \( \lambda_1 \): Ослабление интенсивности в 4 раза, то есть \( \frac{I_{01}}{I_1} = 4 \) Показатель поглощения \( k_1 = 0,02 \) см\(^{-1} \) Для света с длиной волны \( \lambda_2 \): Ослабление интенсивности в 3 раза, то есть \( \frac{I_{02}}{I_2} = 3 \) Найти: Показатель поглощения \( k_2 \) Решение: Закон Бугера-Ламберта-Бера описывает ослабление интенсивности света при прохождении через поглощающую среду: \[ I = I_0 e^{-kx} \] где \( I_0 \) - начальная интенсивность света, \( I \) - интенсивность света после прохождения слоя вещества толщиной \( x \), \( k \) - показатель поглощения. Из этой формулы можно выразить отношение начальной и конечной интенсивностей: \[ \frac{I_0}{I} = e^{kx} \] Для света с длиной волны \( \lambda_1 \): \[ \frac{I_{01}}{I_1} = e^{k_1 x} \] Мы знаем, что \( \frac{I_{01}}{I_1} = 4 \), поэтому: \[ 4 = e^{k_1 x} \] Возьмем натуральный логарифм от обеих частей: \[ \ln 4 = k_1 x \] Отсюда можно найти толщину слоя \( x \): \[ x = \frac{\ln 4}{k_1} \] Подставим значение \( k_1 \): \[ x = \frac{\ln 4}{0,02 \text{ см}^{-1}} \] \[ x \approx \frac{1,386}{0,02 \text{ см}^{-1}} \] \[ x \approx 69,3 \text{ см} \] Теперь для света с длиной волны \( \lambda_2 \): \[ \frac{I_{02}}{I_2} = e^{k_2 x} \] Мы знаем, что \( \frac{I_{02}}{I_2} = 3 \), поэтому: \[ 3 = e^{k_2 x} \] Возьмем натуральный логарифм от обеих частей: \[ \ln 3 = k_2 x \] Выразим \( k_2 \): \[ k_2 = \frac{\ln 3}{x} \] Подставим найденное значение \( x \): \[ k_2 = \frac{\ln 3}{\frac{\ln 4}{k_1}} \] \[ k_2 = k_1 \frac{\ln 3}{\ln 4} \] Подставим значения \( k_1 \), \( \ln 3 \) и \( \ln 4 \): \[ k_2 = 0,02 \text{ см}^{-1} \cdot \frac{1,0986}{1,3863} \] \[ k_2 \approx 0,02 \text{ см}^{-1} \cdot 0,7925 \] \[ k_2 \approx 0,01585 \text{ см}^{-1} \] Ответ: Показатель поглощения \( k_2 \) для света с длиной волны \( \lambda_2 \) равен примерно \( 0,0159 \) см\(^{-1} \).