Решение задачи: Сложение дробей с переменными

Хорошо, давайте решим эти задачи по порядку.
1) \[ \frac{3}{x+y} + \frac{2}{x} \] Чтобы сложить эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет произведением знаменателей, то есть \(x(x+y)\). Первую дробь умножим на \(x\) (числитель и знаменатель), а вторую дробь умножим на \((x+y)\) (числитель и знаменатель): \[ \frac{3 \cdot x}{x(x+y)} + \frac{2 \cdot (x+y)}{x(x+y)} \] Теперь сложим числители: \[ \frac{3x + 2(x+y)}{x(x+y)} \] Раскроем скобки в числителе: \[ \frac{3x + 2x + 2y}{x(x+y)} \] Приведем подобные слагаемые в числителе: \[ \frac{5x + 2y}{x(x+y)} \] Можно также раскрыть скобки в знаменателе: \[ \frac{5x + 2y}{x^2 + xy} \] Итак, окончательный ответ: \[ \frac{5x + 2y}{x^2 + xy} \]
2) \[ \frac{a}{a+1} + \frac{1}{a-1} \] Общий знаменатель для этих дробей будет \((a+1)(a-1)\). Первую дробь умножим на \((a-1)\), а вторую дробь умножим на \((a+1)\): \[ \frac{a \cdot (a-1)}{(a+1)(a-1)} + \frac{1 \cdot (a+1)}{(a-1)(a+1)} \] Теперь сложим числители: \[ \frac{a(a-1) + 1(a+1)}{(a+1)(a-1)} \] Раскроем скобки в числителе: \[ \frac{a^2 - a + a + 1}{(a+1)(a-1)} \] Приведем подобные слагаемые в числителе: \[ \frac{a^2 + 1}{(a+1)(a-1)} \] Мы знаем, что \((a+1)(a-1) = a^2 - 1^2 = a^2 - 1\). Итак, окончательный ответ: \[ \frac{a^2 + 1}{a^2 - 1} \]
3) \[ \frac{4}{x-3} - \frac{1}{x+3} \] Общий знаменатель для этих дробей будет \((x-3)(x+3)\). Первую дробь умножим на \((x+3)\), а вторую дробь умножим на \((x-3)\): \[ \frac{4 \cdot (x+3)}{(x-3)(x+3)} - \frac{1 \cdot (x-3)}{(x+3)(x-3)} \] Теперь вычтем числители: \[ \frac{4(x+3) - 1(x-3)}{(x-3)(x+3)} \] Раскроем скобки в числителе: \[ \frac{4x + 12 - x + 3}{(x-3)(x+3)} \] Приведем подобные слагаемые в числителе: \[ \frac{3x + 15}{(x-3)(x+3)} \] Мы знаем, что \((x-3)(x+3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9\). Итак, окончательный ответ: \[ \frac{3x + 15}{x^2 - 9} \]
4) \[ \frac{c-1}{c+2} - \frac{c-2}{c+1} \] Общий знаменатель для этих дробей будет \((c+2)(c+1)\). Первую дробь умножим на \((c+1)\), а вторую дробь умножим на \((c+2)\): \[ \frac{(c-1)(c+1)}{(c+2)(c+1)} - \frac{(c-2)(c+2)}{(c+1)(c+2)} \] Теперь вычтем числители: \[ \frac{(c-1)(c+1) - (c-2)(c+2)}{(c+2)(c+1)} \] Раскроем скобки в числителе, используя формулу разности квадратов \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\): \((c-1)(c+1) = c^2 - 1^2 = c^2 - 1\) \((c-2)(c+2) = c^2 - 2^2 = c^2 - 4\) Подставим это в числитель: \[ \frac{(c^2 - 1) - (c^2 - 4)}{(c+2)(c+1)} \] Раскроем скобки в числителе, помня о знаке минус перед второй скобкой: \[ \frac{c^2 - 1 - c^2 + 4}{(c+2)(c+1)} \] Приведем подобные слагаемые в числителе: \[ \frac{-1 + 4}{(c+2)(c+1)} \] \[ \frac{3}{(c+2)(c+1)} \] Можно также раскрыть скобки в знаменателе: \[ \frac{3}{c^2 + c + 2c + 2} \] \[ \frac{3}{c^2 + 3c + 2} \] Итак, окончательный ответ: \[ \frac{3}{c^2 + 3c + 2} \]
5) \[ \frac{x+b}{3x} - \frac{x}{x+b} \] Общий знаменатель для этих дробей будет \(3x(x+b)\). Первую дробь умножим на \((x+b)\), а вторую дробь умножим на \(3x\): \[ \frac{(x+b)(x+b)}{3x(x+b)} - \frac{x \cdot 3x}{(x+b)3x} \] Теперь вычтем числители: \[ \frac{(x+b)^2 - 3x^2}{3x(x+b)} \] Раскроем скобки в числителе, используя формулу квадрата суммы \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\): \((x+b)^2 = x^2 + 2xb + b^2\) Подставим это в числитель: \[ \frac{x^2 + 2xb + b^2 - 3x^2}{3x(x+b)} \] Приведем подобные слагаемые в числителе: \[ \frac{x^2 - 3x^2 + 2xb + b^2}{3x(x+b)} \] \[ \frac{-2x^2 + 2xb + b^2}{3x(x+b)} \] Можно также раскрыть скобки в знаменателе: \[ \frac{-2x^2 + 2xb + b^2}{3x^2 + 3xb} \] Итак, окончательный ответ: \[ \frac{-2x^2 + 2xb + b^2}{3x^2 + 3xb} \]
6) \[ \frac{a-b}{a+b} + \frac{a+b}{a-b} \] Общий знаменатель для этих дробей будет \((a+b)(a-b)\). Первую дробь умножим на \((a-b)\), а вторую дробь умножим на \((a+b)\): \[ \frac{(a-b)(a-b)}{(a+b)(a-b)} + \frac{(a+b)(a+b)}{(a-b)(a+b)} \] Теперь сложим числители: \[ \frac{(a-b)^2 + (a+b)^2}{(a+b)(a-b)} \] Раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата разности \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) и квадрата суммы \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\): \[ \frac{(a^2 - 2ab + b^2) + (a^2 + 2ab + b^2)}{(a+b)(a-b)} \] Приведем подобные слагаемые в числителе: \[ \frac{a^2 + a^2 - 2ab + 2ab + b^2 + b^2}{(a+b)(a-b)} \] \[ \frac{2a^2 + 2b^2}{(a+b)(a-b)} \] Мы знаем, что \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\). Можно вынести 2 из числителя: \[ \frac{2(a^2 + b^2)}{a^2 - b^2} \] Итак, окончательный ответ: \[ \frac{2(a^2 + b^2)}{a^2 - b^2} \]
7) \[ \frac{3ab-a^2}{(a-b)(a+b)} + \frac{2a}{a-b} \] Общий знаменатель для этих дробей будет \((a-b)(a+b)\). Первая дробь уже имеет этот знаменатель. Вторую дробь нужно умножить на \((a+b)\): \[ \frac{3ab-a^2}{(a-b)(a+b)} + \frac{2a \cdot (a+b)}{(a-b)(a+b)} \] Теперь сложим числители: \[ \frac{3ab-a^2 + 2a(a+b)}{(a-b)(a+b)} \] Раскроем скобки в числителе: \[ \frac{3ab-a^2 + 2a^2 + 2ab}{(a-b)(a+b)} \] Приведем подобные слагаемые в числителе: \[ \frac{-a^2 + 2a^2 + 3ab + 2ab}{(a-b)(a+b)} \] \[ \frac{a^2 + 5ab}{(a-b)(a+b)} \] Можно вынести \(a\) из числителя: \[ \frac{a(a + 5b)}{(a-b)(a+b)} \] Мы знаем, что \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\). Итак, окончательный ответ: \[ \frac{a(a + 5b)}{a^2 - b^2} \]
8) \[ \frac{2y}{y-x} - \frac{3x}{y+x} \] Обратите внимание, что \(y-x\) и \(y+x\) отличаются только знаком перед \(x\). Общий знаменатель для этих дробей будет \((y-x)(y+x)\). Первую дробь умножим на \((y+x)\), а вторую дробь умножим на \((y-x)\): \[ \frac{2y \cdot (y+x)}{(y-x)(y+x)} - \frac{3x \cdot (y-x)}{(y+x)(y-x)} \] Теперь вычтем числители: \[ \frac{2y(y+x) - 3x(y-x)}{(y-x)(y+x)} \] Раскроем скобки в числителе: \[ \frac{2y^2 + 2xy - (3xy - 3x^2)}{(y-x)(y+x)} \] Раскроем скобки, помня о знаке минус: \[ \frac{2y^2 + 2xy - 3xy + 3x^2}{(y-x)(y+x)} \] Приведем подобные слагаемые в числителе: \[ \frac{2y^2 - xy + 3x^2}{(y-x)(y+x)} \] Мы знаем, что \((y-x)(y+x) = y^2 - x^2\). Итак, окончательный ответ: \[ \frac{2y^2 - xy + 3x^2}{y^2 - x^2} \]