Задача 5.
Периметр параллелограмма равен 32 см. Найдите площадь параллелограмма, если один из углов на 60° больше прямого, а одна из сторон равна 6 см.
Дано:
Параллелограмм ABCD
Периметр \(P = 32\) см
Одна сторона \(a = 6\) см
Один из углов \( \alpha = 90^\circ + 60^\circ = 150^\circ \)
Найти:
Площадь \(S\)
Решение:
1. Найдем величину угла параллелограмма. Прямой угол равен \(90^\circ\). По условию, один из углов на \(60^\circ\) больше прямого. Значит, этот угол равен:
\[ \alpha = 90^\circ + 60^\circ = 150^\circ \]
В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \(180^\circ\). Если один угол равен \(150^\circ\), то смежный с ним угол будет:
\[ \beta = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ \]
Для вычисления площади нам нужен острый угол, который равен \(30^\circ\).
2. Найдем вторую сторону параллелограмма. Периметр параллелограмма вычисляется по формуле:
\[ P = 2 \cdot (a + b) \]
где \(a\) и \(b\) — длины смежных сторон.
Нам дано \(P = 32\) см и \(a = 6\) см. Подставим эти значения в формулу:
\[ 32 = 2 \cdot (6 + b) \]
Разделим обе части уравнения на 2:
\[ \frac{32}{2} = 6 + b \]
\[ 16 = 6 + b \]
Вычтем 6 из обеих частей уравнения, чтобы найти \(b\):
\[ b = 16 - 6 \]
\[ b = 10 \text{ см} \]
Итак, вторая сторона параллелограмма равна 10 см.
3. Найдем площадь параллелограмма. Площадь параллелограмма можно найти по формуле:
\[ S = a \cdot b \cdot \sin(\beta) \]
где \(a\) и \(b\) — длины смежных сторон, а \( \beta \) — угол между ними.
Мы нашли \(a = 6\) см, \(b = 10\) см и \( \beta = 30^\circ \).
Значение синуса \(30^\circ\) равно \( \frac{1}{2} \) или \(0.5\).
Подставим значения в формулу:
\[ S = 6 \cdot 10 \cdot \sin(30^\circ) \]
\[ S = 6 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} \]
\[ S = 60 \cdot \frac{1}{2} \]
\[ S = 30 \text{ см}^2 \]
Ответ:
Площадь параллелограмма равна 30 см\(^2\).