Решение задач по арифметической и геометрической прогрессиям (Вариант 1)

Ниже представлено решение задач из Варианта 1, оформленное для записи в тетрадь. Задача 1. Дано: арифметическая прогрессия \( -30; -28; -26; \dots \) Найти: \( a_{28} \). Решение: 1) Первый член \( a_1 = -30 \). 2) Разность прогрессии \( d = a_2 - a_1 = -28 - (-30) = 2 \). 3) Формула n-го члена: \( a_n = a_1 + d(n - 1) \). 4) \( a_{28} = -30 + 2 \cdot (28 - 1) = -30 + 2 \cdot 27 = -30 + 54 = 24 \). Ответ: 24. Задача 2. Дано: геометрическая прогрессия \( 2; 8; 32; \dots \) Найти: \( S_5 \). Решение: 1) Первый член \( b_1 = 2 \). 2) Знаменатель \( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{8}{2} = 4 \). 3) Формула суммы n первых членов: \( S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} \). 4) \( S_5 = \frac{2(4^5 - 1)}{4 - 1} = \frac{2(1024 - 1)}{3} = \frac{2 \cdot 1023}{3} = 2 \cdot 341 = 682 \). Ответ: 682. Задача 3. Дано: \( b_n = 3 \cdot 2^n \). Является ли число 384 членом этой прогрессии? Решение: Составим уравнение: \[ 3 \cdot 2^n = 384 \] \[ 2^n = \frac{384}{3} \] \[ 2^n = 128 \] Так как \( 128 = 2^7 \), то \( n = 7 \). Поскольку 7 — натуральное число, то число 384 является 7-м членом прогрессии. Ответ: Да, является. Задача 4. Дано: \( S_{16} = 640 \), \( a_1 = 10 \), \( n = 16 \). Найти: \( a_4 \). Решение: 1) Используем формулу суммы: \( S_n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n \). \[ 640 = \frac{2 \cdot 10 + d(16 - 1)}{2} \cdot 16 \] \[ 640 = (20 + 15d) \cdot 8 \] \[ 80 = 20 + 15d \] \[ 15d = 60 \] \[ d = 4 \] 2) Находим \( a_4 \): \[ a_4 = a_1 + 3d = 10 + 3 \cdot 4 = 10 + 12 = 22 \]. Ответ: 22 открытки. Задача 5. Дано: \( a_1 = -9x^2 + 1 \), \( a_2 = x + 2 \), \( a_3 = 15 + 7x^2 \). Решение: По свойству арифметической прогрессии: \( a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2} \). \[ x + 2 = \frac{-9x^2 + 1 + 15 + 7x^2}{2} \] \[ 2(x + 2) = -2x^2 + 16 \] \[ 2x + 4 = -2x^2 + 16 \] \[ 2x^2 + 2x - 12 = 0 \] Разделим на 2: \[ x^2 + x - 6 = 0 \] По теореме Виета: \( x_1 = -3 \), \( x_2 = 2 \). Ответ: -3; 2. Задача 6. Найти сумму натуральных чисел, кратных 8, в диапазоне от 50 до 180. Решение: 1) Первое число больше 50, кратное 8: \( a_1 = 56 \) (так как \( 8 \cdot 7 = 56 \)). 2) Последнее число меньше 180, кратное 8: \( a_n = 176 \) (так как \( 176 / 8 = 22 \)). 3) Разность \( d = 8 \). 4) Найдем количество членов \( n \): \[ 176 = 56 + 8(n - 1) \] \[ 120 = 8(n - 1) \] \[ 15 = n - 1 \Rightarrow n = 16 \]. 5) Сумма: \( S_{16} = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{56 + 176}{2} \cdot 16 = \frac{232}{2} \cdot 16 = 116 \cdot 16 = 1856 \). Ответ: 1856.