Решение системы уравнений: графический анализ

Задание 1. Сколько решений имеет система а) \[ \begin{cases} xy = 4 \\ x^2 - y = 0 \end{cases} \] Преобразуем уравнения для построения графиков: 1. \( y = \frac{4}{x} \) — это гипербола, ветви которой лежат в I и III четвертях. 2. \( y = x^2 \) — это парабола с вершиной в точке (0; 0), ветви направлены вверх. Анализ: Парабола \( y = x^2 \) всегда находится выше оси OX (кроме вершины). Гипербола в III четверти принимает отрицательные значения, поэтому там пересечений нет. В I четверти функции \( y = \frac{4}{x} \) и \( y = x^2 \) пересекаются в одной точке (при \( x = \sqrt[3]{4} \)). Ответ: 1 решение. б) \[ \begin{cases} xy = 6 \\ (x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 16 \end{cases} \] 1. \( y = \frac{6}{x} \) — гипербола в I и III четвертях. 2. \( (x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 4^2 \) — окружность с центром в точке (1; -1) и радиусом \( R = 4 \). Анализ: Центр окружности смещен в IV четверть. Радиус достаточно велик, чтобы окружность пересекла ветвь гиперболы в I четверти в двух точках и ветвь в III четверти также в двух точках. Ответ: 4 решения. Задание 2. Решите графически систему уравнений а) \[ \begin{cases} 2x - y = 6 \\ (x - 4)(y + 2) = 0 \end{cases} \] 1. Первое уравнение: \( y = 2x - 6 \). Это прямая. Точки для построения: (0; -6), (3; 0). 2. Второе уравнение распадается на две прямые: \( x = 4 \) (вертикальная) и \( y = -2 \) (горизонтальная). Решением системы будут точки пересечения прямой \( y = 2x - 6 \) с линиями \( x = 4 \) и \( y = -2 \). - Если \( x = 4 \), то \( y = 2 \cdot 4 - 6 = 2 \). Точка (4; 2). - Если \( y = -2 \), то \( -2 = 2x - 6 \), откуда \( 2x = 4 \), \( x = 2 \). Точка (2; -2). Ответ: (4; 2), (2; -2). б) \[ \begin{cases} x^3 - y = 0 \\ y = 4x \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = x^3 \\ y = 4x \end{cases} \] 1. \( y = x^3 \) — кубическая парабола. Проходит через (0; 0), (1; 1), (2; 8), (-1; -1), (-2; -8). 2. \( y = 4x \) — прямая. Проходит через (0; 0), (1; 4), (2; 8), (-1; -4), (-2; -8). Точки пересечения графиков: (0; 0), (2; 8) и (-2; -8). Ответ: (0; 0), (2; 8), (-2; -8). в) \[ \begin{cases} x^2 - y = 0 \\ y - 4x = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = x^2 \\ y = 4x \end{cases} \] 1. \( y = x^2 \) — парабола. Проходит через (0; 0), (1; 1), (2; 4), (4; 16). 2. \( y = 4x \) — прямая. Проходит через (0; 0), (1; 4), (4; 16). Точки пересечения графиков: (0; 0) и (4; 16). Ответ: (0; 0), (4; 16).