Решение задач по геометрии для школы

Ниже представлены решения задач, оформленные для удобного переписывания в школьную тетрадь. Задача 1. Дано: \(AC, BD\) — диаметры, \(\angle AOD = 38^\circ\). Найти: \(\angle ACB\). Решение: 1) Углы \(AOD\) и \(BOC\) вертикальные, значит \(\angle BOC = \angle AOD = 38^\circ\). 2) Угол \(BOC\) — центральный, он опирается на дугу \(BC\). Значит, дуга \(BC = 38^\circ\). 3) Угол \(ACB\) — вписанный, он опирается на ту же дугу \(BC\). По свойству вписанного угла: \[ \angle ACB = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } BC = \frac{38^\circ}{2} = 19^\circ \] Ответ: 19. Задача 2. Дано: \(AB = 2, AC = 8\), \(AK\) — касательная. Найти: \(AK\). Решение: По теореме о касательной и секущей: квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть. \[ AK^2 = AB \cdot AC \] \[ AK^2 = 2 \cdot 8 = 16 \] \[ AK = \sqrt{16} = 4 \] Ответ: 4. Задача 3. Дано: \(R = 16\sqrt{2}\). Найти: сторону квадрата \(a\). Решение: Радиус описанной около квадрата окружности связан со стороной формулой: \[ R = \frac{a\sqrt{2}}{2} \] Отсюда сторона \(a\): \[ a = \frac{2R}{\sqrt{2}} = \frac{2 \cdot 16\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 32 \] Ответ: 32. Задача 4. Дано: \(\angle ABC = 47^\circ, \angle OAB = 38^\circ\). Найти: \(\angle BCO\). Решение: 1) Проведем радиус \(OB\). Треугольники \(AOB\) и \(BOC\) — равнобедренные (стороны равны радиусу). 2) В \(\triangle AOB\): \(\angle OBA = \angle OAB = 38^\circ\). 3) Тогда \(\angle OBC = \angle ABC - \angle OBA = 47^\circ - 38^\circ = 9^\circ\). 4) В \(\triangle BOC\): \(\angle BCO = \angle OBC = 9^\circ\). Ответ: 9. Задача 5. Дано: сторона \(a = 2\sqrt{3}\). Найти: \(R\). Решение: Радиус описанной окружности равностороннего треугольника: \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2 \] Ответ: 2. Задача 6. Дано: \(AB = 11, BC = 6, CD = 9\). Найти: \(AD\). Решение: В описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны: \[ AB + CD = BC + AD \] \[ 11 + 9 = 6 + AD \] \[ 20 = 6 + AD \Rightarrow AD = 14 \] Ответ: 14. Задача 7. Дано: \(AB = 48, AO = 50\). Найти: \(R = OB\). Решение: Касательная \(AB\) перпендикулярна радиусу \(OB\). \(\triangle ABO\) — прямоугольный (\(\angle B = 90^\circ\)). По теореме Пифагора: \[ OB^2 = AO^2 - AB^2 \] \[ R^2 = 50^2 - 48^2 = (50-48)(50+48) = 2 \cdot 98 = 196 \] \[ R = \sqrt{196} = 14 \] Ответ: 14. Задача 8. Дано: \(\angle AOB = 28^\circ\), дуга \(AB_{min} = 63\). Найти: дугу \(AB_{max}\). Решение: Длина дуги пропорциональна её градусной мере. 1) Градусная мера большей дуги: \(360^\circ - 28^\circ = 332^\circ\). 2) Составим пропорцию: \(28^\circ\) — \(63\) \(332^\circ\) — \(x\) \[ x = \frac{63 \cdot 332}{28} = \frac{9 \cdot 332}{4} = 9 \cdot 83 = 747 \] Ответ: 747. Задача 9. Дано: \(\angle ABD = 14^\circ, \angle CAD = 30^\circ\). Найти: \(\angle ABC\). Решение: 1) Углы \(CAD\) и \(CBD\) вписанные и опираются на одну и ту же дугу \(CD\). Значит, \(\angle CBD = \angle CAD = 30^\circ\). 2) Угол \(ABC\) состоит из двух углов: \[ \angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 14^\circ + 30^\circ = 44^\circ \] Ответ: 44. Задача 10. Дано: угол между касательными \(18^\circ\). Найти: \(\angle ABO\). Решение: 1) Пусть точка пересечения касательных — \(P\). В четырехугольнике \(AOBP\): \(\angle A = \angle B = 90^\circ\), \(\angle P = 18^\circ\). 2) Тогда центральный угол \(\angle AOB = 180^\circ - 18^\circ = 162^\circ\). 3) \(\triangle AOB\) — равнобедренный (\(OA=OB=R\)). \[ \angle ABO = \frac{180^\circ - \angle AOB}{2} = \frac{180^\circ - 162^\circ}{2} = \frac{18^\circ}{2} = 9^\circ \] Ответ: 9.