Решение задачи по статистике (Вариант 1): Регрессия и Корреляция

Решение задачи по статистике (Вариант 1) Для построения уравнений регрессии и нахождения коэффициента корреляции составим расчетную таблицу. Объем выборки \( n = 5 \). Данные: \( x_i \): 1, 3, 4, 6, 8 \( y_i \): 2, 5, 4, 7, 9 Расчетная таблица: 1. \( x_i \): 1, 3, 4, 6, 8. Сумма \( \sum x_i = 22 \) 2. \( y_i \): 2, 5, 4, 7, 9. Сумма \( \sum y_i = 27 \) 3. \( x_i^2 \): 1, 9, 16, 36, 64. Сумма \( \sum x_i^2 = 126 \) 4. \( y_i^2 \): 4, 25, 16, 49, 81. Сумма \( \sum y_i^2 = 175 \) 5. \( x_i \cdot y_i \): 2, 15, 16, 42, 72. Сумма \( \sum x_i y_i = 147 \) Вычислим средние значения: \[ \bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{22}{5} = 4,4 \] \[ \bar{y} = \frac{\sum y_i}{n} = \frac{27}{5} = 5,4 \] Вычислим средние квадратов и среднее произведений: \[ \overline{x^2} = \frac{\sum x_i^2}{n} = \frac{126}{5} = 25,2 \] \[ \overline{y^2} = \frac{\sum y_i^2}{n} = \frac{175}{5} = 35,0 \] \[ \overline{xy} = \frac{\sum x_i y_i}{n} = \frac{147}{5} = 29,4 \] Найдем выборочные дисперсии и средние квадратические отклонения: \[ D_x = \overline{x^2} - (\bar{x})^2 = 25,2 - (4,4)^2 = 25,2 - 19,36 = 5,84 \] \[ \sigma_x = \sqrt{D_x} = \sqrt{5,84} \approx 2,417 \] \[ D_y = \overline{y^2} - (\bar{y})^2 = 35,0 - (5,4)^2 = 35,0 - 29,16 = 5,84 \] \[ \sigma_y = \sqrt{D_y} = \sqrt{5,84} \approx 2,417 \] 1. Нахождение выборочного коэффициента корреляции: \[ r_{xy} = \frac{\overline{xy} - \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sigma_x \cdot \sigma_y} = \frac{29,4 - 4,4 \cdot 5,4}{5,84} = \frac{29,4 - 23,76}{5,84} = \frac{5,64}{5,84} \approx 0,966 \] Связь между признаками прямая и сильная. 2. Уравнение прямой регрессии Y по X: Уравнение имеет вид: \( y - \bar{y} = \rho_{yx} (x - \bar{x}) \), где \( \rho_{yx} = r_{xy} \cdot \frac{\sigma_y}{\sigma_x} \). Так как \( \sigma_x = \sigma_y \), то \( \rho_{yx} = r_{xy} = \frac{5,64}{5,84} \approx 0,966 \). \[ y - 5,4 = 0,966 (x - 4,4) \] \[ y = 0,966x - 4,25 + 5,4 \] \[ y = 0,966x + 1,15 \] 3. Уравнение прямой регрессии X по Y: Уравнение имеет вид: \( x - \bar{x} = \rho_{xy} (y - \bar{y}) \), где \( \rho_{xy} = r_{xy} \cdot \frac{\sigma_x}{\sigma_y} \). Здесь также \( \rho_{xy} = r_{xy} \approx 0,966 \). \[ x - 4,4 = 0,966 (y - 5,4) \] \[ x = 0,966y - 5,216 + 4,4 \] \[ x = 0,966y - 0,816 \] Ответ: Коэффициент корреляции \( r_{xy} \approx 0,966 \). Уравнение Y по X: \( y = 0,966x + 1,15 \). Уравнение X по Y: \( x = 0,966y - 0,816 \).