Решение Задачи про Туристов: Система Уравнений

Ниже представлено решение задач с помощью систем уравнений. Вы можете переписать ход решения в тетрадь. Задача 1 (про туристов) Пусть \(x\) км/ч — скорость первой туристки, а \(y\) км/ч — скорость второй. Расстояние \(S = 18\) км. Время до встречи \(t = 2\) ч. Время прохождения всего пути первой туристкой: \(\frac{18}{x}\) ч. Время прохождения всего пути второй туристкой: \(\frac{18}{y}\) ч. Разница во времени: 54 мин = \(\frac{54}{60}\) ч = \(0,9\) ч. Составим систему уравнений: \[ \begin{cases} 2(x + y) = 18 \\ \frac{18}{x} - \frac{18}{y} = 0,9 \end{cases} \] Из первого уравнения: \(x + y = 9\), значит \(y = 9 - x\). Подставим во второе: \[ \frac{18}{x} - \frac{18}{9 - x} = 0,9 \] Разделим на 0,9: \[ \frac{20}{x} - \frac{20}{9 - x} = 1 \] \[ 20(9 - x) - 20x = x(9 - x) \] \[ 180 - 20x - 20x = 9x - x^2 \] \[ x^2 - 49x + 180 = 0 \] Корни уравнения: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 45\) (не подходит по смыслу). Если \(x = 4\), то \(y = 9 - 4 = 5\). Ответ: 4 и 5. Задача 2 (по окружности) Пусть \(v_1\) и \(v_2\) — скорости точек (м/с). Длина окружности \(L = 60\) м. Разница во времени одного оборота: \(\frac{60}{v_2} - \frac{60}{v_1} = 5\). При движении в одном направлении время между встречами: \(\frac{60}{v_1 - v_2} = 60\) с (1 мин). Отсюда \(v_1 - v_2 = 1\), значит \(v_1 = v_2 + 1\). Подставим в первое уравнение: \[ \frac{60}{v_2} - \frac{60}{v_2 + 1} = 5 \] Разделим на 5: \[ \frac{12}{v_2} - \frac{12}{v_2 + 1} = 1 \] \[ 12(v_2 + 1) - 12v_2 = v_2(v_2 + 1) \] \[ 12 = v_2^2 + v_2 \] \[ v_2^2 + v_2 - 12 = 0 \] Корни: \(v_2 = 3\) (отрицательный не берем). Тогда \(v_1 = 3 + 1 = 4\). Ответ: 3 и 4. Задача 3 (про туриста на лодке и пешком) Пусть \(t_1\) — время на лодке, \(t_2\) — время пешком. По условию: \(t_1 - t_2 = 4\). Скорость на лодке: \(v_1 = \frac{90}{t_1}\). Скорость пешком: \(v_2 = \frac{10}{t_2}\). Второе условие: если бы он плыл \(t_2\) времени, а шел \(t_1\) времени, расстояния были бы равны: \[ v_1 \cdot t_2 = v_2 \cdot t_1 \] \[ \frac{90}{t_1} \cdot t_2 = \frac{10}{t_2} \cdot t_1 \] \[ 90 t_2^2 = 10 t_1^2 \Rightarrow 9 t_2^2 = t_1^2 \Rightarrow t_1 = 3t_2 \] Подставим в первое уравнение: \[ 3t_2 - t_2 = 4 \] \[ 2t_2 = 4 \Rightarrow t_2 = 2 \] \[ t_1 = 3 \cdot 2 = 6 \] Ответ: 2 и 6. Соответствие: 1. Туристки (18 км) — 4 и 5. 2. Точки по окружности — 3 и 4. 3. Турист (лодка и пешком) — 2 и 6.