Решение задачи: радиус описанной окружности равнобедренного треугольника

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника и тригонометрическими формулами. Дано: Треугольник \(ABC\) — равнобедренный (\(AC = BC\)). Угол при основании \(\angle A = \angle B = 30^\circ\). Расстояние от центра вписанной окружности \(O\) до вершины \(C\) равно \(d\). Найти: Радиус описанной окружности \(R\). Решение: 1. Найдем угол при вершине \(C\): \[ \angle C = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 120^\circ \] 2. Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла \(C\). Биссектриса делит угол \(C\) пополам: \[ \angle OCB = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ \] Пусть \(r\) — радиус вписанной окружности. В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом к боковой стороне и отрезком \(CO\): \[ r = d \cdot \sin(60^\circ) = d \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] Однако нам нужно найти сторону треугольника. Проведем высоту \(CH\) к основанию \(AB\). В треугольнике \(COH\) (где \(H\) — середина \(AB\)): \[ CH = d + r \] (так как центр вписанной окружности лежит на высоте). В треугольнике \(ACH\): \[ AC = \frac{CH}{\sin(30^\circ)} = 2 \cdot CH \] 3. Воспользуемся теоремой синусов для нахождения \(R\): \[ 2R = \frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{AC}{\sin(30^\circ)} = 2 \cdot AC \] Отсюда \(R = AC\). 4. Выразим \(R\) через \(d\). В равнобедренном треугольнике с углом \(120^\circ\) при вершине, биссектриса угла \(A\) (на которой лежит центр вписанной окружности) делит угол \(A\) пополам: \(15^\circ\). Рассмотрим треугольник \(ADC\), где \(D\) — точка пересечения биссектрисы угла \(A\) и высоты \(CH\). Точка \(D\) и есть центр вписанной окружности. В треугольнике \(ADC\) по теореме синусов: \[ \frac{d}{\sin(30^\circ)} = \frac{AC}{\sin(\angle ADC)} \] Угол \(\angle ADC = 180^\circ - (60^\circ + 15^\circ) = 105^\circ\). Это сложный путь. Проще: в треугольнике \(ACH\) высота \(CH = R \cdot \sin(30^\circ) = 0,5R\). Расстояние от вершины до центра вписанной окружности \(d = \frac{r}{\sin(\angle C / 2)} = \frac{r}{\sin(60^\circ)}\). Для равнобедренного треугольника есть связь: \(d = R(1 - \cos(120^\circ)) = R(1 - (-0,5)) = 1,5R\) — это неверно для вписанной. Верный путь: В треугольнике \(ABC\): \(a = b = 2R \sin(30^\circ) = R\). Угол \(C = 120^\circ\). Центр вписанной окружности \(O\) удален от \(C\) на \(d\). В треугольнике \(BCO\) (где \(CO\) — биссектриса): \(\angle OCB = 60^\circ\), \(\angle CBO = 15^\circ\). Угол \(\angle BOC = 180^\circ - 60^\circ - 15^\circ = 105^\circ\). По теореме синусов в \(\triangle BCO\): \[ \frac{d}{\sin(15^\circ)} = \frac{BC}{\sin(105^\circ)} \] Так как \(BC = R\): \[ R = \frac{d \cdot \sin(105^\circ)}{\sin(15^\circ)} \] Используя формулы приведения и сложения: \(\sin(105^\circ) = \cos(15^\circ)\). \[ R = d \cdot \text{ctg}(15^\circ) \] Используя формулу из примечания (\(\text{tg}(15^\circ) = \frac{\sin 30^\circ}{1 + \cos 30^\circ} = \frac{0,5}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}\)): \[ \text{ctg}(15^\circ) = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3} \] \[ R = d(2 + \sqrt{3}) \] Ответ: \(d(2 + \sqrt{3})\)