Решение задачи: Найти медиану треугольника

Для решения этой задачи нам понадобится найти длины сторон треугольника, а затем применить формулу медианы. Дано: \(AB = c = 8\) \(\angle A = 60^\circ\) \(\angle C = 45^\circ\) Найти: Медиану \(m_b\), проведенную к стороне \(AC\). Решение: 1. Найдем угол \(\angle B\): \[ \angle B = 180^\circ - (60^\circ + 45^\circ) = 75^\circ \] 2. По теореме синусов найдем стороны \(BC\) (обозначим как \(a\)) и \(AC\) (обозначим как \(b\)): \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \Rightarrow a = \frac{8 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{6} \] 3. Найдем сторону \(b\) (\(AC\)). Для этого вычислим \(\sin 75^\circ\) по формуле из примечания: \[ \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \] \[ b = \frac{c \cdot \sin B}{\sin C} = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{3} + 4 \] 4. Формула медианы \(m_b\) к стороне \(b\): \[ m_b = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2c^2 - b^2} \] Подставим значения: \(a^2 = (4\sqrt{6})^2 = 16 \cdot 6 = 96\) \(c^2 = 8^2 = 64\) \(b^2 = (4\sqrt{3} + 4)^2 = 48 + 32\sqrt{3} + 16 = 64 + 32\sqrt{3}\) \[ m_b = \frac{1}{2} \sqrt{2(96) + 2(64) - (64 + 32\sqrt{3})} \] \[ m_b = \frac{1}{2} \sqrt{192 + 128 - 64 - 32\sqrt{3}} = \frac{1}{2} \sqrt{256 - 32\sqrt{3}} \] Вынесем 16 из-под корня: \[ m_b = \frac{4}{2} \sqrt{16 - 2\sqrt{3}} = 2\sqrt{16 - 2\sqrt{3}} \] Для упрощения заметим, что \(16 - 2\sqrt{3}\) не извлекается красиво, но часто в таких задачах ответ оставляют в виде корня или вычисляют через высоту. Проверим высоту \(BH\): \(BH = AB \cdot \sin 60^\circ = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\). \(AH = AB \cdot \cos 60^\circ = 4\). \(HC = BH / \text{tg} 45^\circ = 4\sqrt{3}\). \(AC = 4 + 4\sqrt{3}\). Точка \(M\) (середина \(AC\)) имеет координату \((4 + 4\sqrt{3})/2 = 2 + 2\sqrt{3}\). Отрезок \(HM = |AM - AH| = |2 + 2\sqrt{3} - 4| = 2\sqrt{3} - 2\). По теореме Пифагора для \(\triangle BHM\): \[ m_b = \sqrt{BH^2 + HM^2} = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3} - 2)^2} = \sqrt{48 + (12 - 8\sqrt{3} + 4)} = \sqrt{64 - 8\sqrt{3}} \] Ответ: \(\sqrt{64 - 8\sqrt{3}}\) (или \(2\sqrt{16 - 2\sqrt{3}}\))