Решение задачи №13: Ход лучей в микроскопе

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику. Вариант №13 1. Нарисовать ход лучей в микроскопе. Общее увеличение микроскопа. Решение: Для того чтобы нарисовать ход лучей в микроскопе, нужно представить две основные оптические системы: объектив и окуляр. 1. Объектив: Это линза (или система линз) с малым фокусным расстоянием. Объект, который мы рассматриваем, располагается чуть дальше фокуса объектива. Объектив создает действительное, увеличенное и перевернутое изображение объекта. Это изображение называется промежуточным. 2. Окуляр: Это линза (или система линз) с большим фокусным расстоянием. Промежуточное изображение, созданное объективом, располагается между окуляром и его фокусом. Окуляр действует как лупа, создавая мнимое, увеличенное и прямое (относительно промежуточного изображения) изображение, которое видит глаз наблюдателя. Схема хода лучей: * Нарисуйте оптическую ось. * Нарисуйте объектив (собирающую линзу) и обозначьте его фокусы \(F_{об}\) и \(2F_{об}\). * Расположите объект \(AB\) чуть дальше \(F_{об}\). * Постройте изображение \(A'B'\) от объектива: * Луч, идущий параллельно оптической оси, после линзы проходит через \(F_{об}\). * Луч, идущий через оптический центр линзы, не преломляется. * Луч, идущий через \(F_{об}\), после линзы идет параллельно оптической оси. * На пересечении этих лучей получите изображение \(A'B'\). Оно будет действительным, перевернутым и увеличенным. * Нарисуйте окуляр (собирающую линзу) правее объектива и обозначьте его фокусы \(F_{ок}\). * Расположите промежуточное изображение \(A'B'\) между окуляром и его фокусом \(F_{ок}\). * Постройте окончательное изображение \(A''B''\) от окуляра: * Луч, идущий от \(A'\) параллельно оптической оси, после окуляра проходит через \(F_{ок}\). * Луч, идущий от \(A'\) через оптический центр окуляра, не преломляется. * На пересечении продолжений этих лучей (с левой стороны от окуляра) получите мнимое, увеличенное и перевернутое (относительно исходного объекта) изображение \(A''B''\). Общее увеличение микроскопа \(Г\) равно произведению увеличения объектива \(Г_{об}\) и увеличения окуляра \(Г_{ок}\): \[Г = Г_{об} \cdot Г_{ок}\] Где \(Г_{об} = \frac{L}{f_{об}}\) (приближенно, \(L\) - длина тубуса), а \(Г_{ок} = \frac{D}{f_{ок}}\) (приближенно, \(D\) - расстояние наилучшего зрения, обычно 25 см). 2. Чему должна быть равна числовая апертура объектива микроскопа для разрешения деталей препарата размером 0,20 мкм, если препарат освещается светом с длиной волны 0,4 мкм? Каков должен быть показатель преломления иммерсионной жидкости, если апертурный угол равен 120°? Решение: Для разрешения деталей в микроскопе используется формула разрешения Аббе: \[d = \frac{0,61 \cdot \lambda}{NA}\] Где: * \(d\) - минимальное расстояние между двумя точками, которые можно различить (разрешающая способность), \(d = 0,20\) мкм. * \(\lambda\) - длина волны света, \(\lambda = 0,4\) мкм. * \(NA\) - числовая апертура объектива. Из этой формулы выразим числовую апертуру \(NA\): \[NA = \frac{0,61 \cdot \lambda}{d}\] Подставим известные значения: \[NA = \frac{0,61 \cdot 0,4 \text{ мкм}}{0,20 \text{ мкм}} = \frac{0,244}{0,20} = 1,22\] Итак, числовая апертура объектива должна быть равна 1,22. Теперь найдем показатель преломления иммерсионной жидкости. Числовая апертура определяется по формуле: \[NA = n \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\] Где: * \(n\) - показатель преломления иммерсионной жидкости. * \(\alpha\) - апертурный угол, \(\alpha = 120^\circ\). * \(\frac{\alpha}{2}\) - половина апертурного угла, \(\frac{120^\circ}{2} = 60^\circ\). Из этой формулы выразим \(n\): \[n = \frac{NA}{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\] Подставим известные значения: \[n = \frac{1,22}{\sin(60^\circ)}\] Мы знаем, что \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866\). \[n = \frac{1,22}{0,866} \approx 1,408\] Ответ: Числовая апертура объектива должна быть 1,22. Показатель преломления иммерсионной жидкости должен быть примерно 1,41. 3. Можно ли использовать изображённый на рисунке объектив для рассматривания деталей объекта размером 200 мкм? Длина волны осветителя 500 нм. Решение: На рисунке изображен объектив с маркировкой "90 LRS". Предположим, что "90" означает увеличение объектива, а "LRS" - это, возможно, тип объектива или его характеристики. Для определения возможности использования объектива для рассматривания деталей размером 200 мкм, нам нужно сравнить этот размер с разрешающей способностью микроскопа. Разрешающая способность микроскопа \(d\) определяется по формуле: \[d = \frac{0,61 \cdot \lambda}{NA}\] Где: * \(\lambda\) - длина волны света, \(\lambda = 500\) нм \( = 0,5\) мкм. * \(NA\) - числовая апертура объектива. На объективе обычно указывается числовая апертура. Если предположить, что "90" - это увеличение, то числовая апертура для таких увеличений обычно находится в диапазоне от 0,8 до 1,4 (для иммерсионных объективов). Если это сухой объектив, то \(NA\) будет меньше 1. Давайте предположим, что это объектив с достаточно высокой числовой апертурой, например, \(NA = 0,9\) (для сухого объектива) или \(NA = 1,25\) (для иммерсионного). Рассчитаем разрешающую способность для \(NA = 0,9\): \[d = \frac{0,61 \cdot 0,5 \text{ мкм}}{0,9} \approx 0,339 \text{ мкм}\] Рассчитаем разрешающую способность для \(NA = 1,25\): \[d = \frac{0,61 \cdot 0,5 \text{ мкм}}{1,25} \approx 0,244 \text{ мкм}\] В обоих случаях разрешающая способность микроскопа (минимальный размер детали, которую можно различить) составляет порядка 0,24-0,34 мкм. Размер деталей объекта, которые нужно рассмотреть, составляет 200 мкм. Сравним: \(200 \text{ мкм} \gg 0,339 \text{ мкм}\) \(200 \text{ мкм} \gg 0,244 \text{ мкм}\) Поскольку размер деталей объекта (200 мкм) значительно больше, чем разрешающая способность микроскопа (порядка 0,2-0,3 мкм), то эти детали будут легко различимы. Однако, вопрос может быть не только о разрешении, но и о целесообразности использования такого увеличения. Объектив с увеличением 90x предназначен для рассматривания очень мелких деталей. Детали размером 200 мкм являются достаточно крупными для микроскопии и, возможно, будут видны даже при меньшем увеличении. Но с точки зрения *возможности* рассмотреть, ответ положительный. Ответ: Да, можно использовать изображённый объектив для рассматривания деталей объекта размером 200 мкм, так как разрешающая способность микроскопа значительно меньше этого размера, что позволяет легко различить такие детали. 4. Каково общее увеличение микроскопа, если используется изображённый на рисунке объектив и окуляр \(7^\times\)? Решение: На рисунке изображен объектив с маркировкой "90 LRS". Предположим, что "90" означает увеличение объектива, то есть \(Г_{об} = 90^\times\). Увеличение окуляра дано как \(Г_{ок} = 7^\times\). Общее увеличение микроскопа \(Г\) равно произведению увеличения объектива и увеличения окуляра: \[Г = Г_{об} \cdot Г_{ок}\] Подставим известные значения: \[Г = 90^\times \cdot 7^\times = 630^\times\] Ответ: Общее увеличение микроскопа составляет \(630^\times\). 5. Между скрещёнными николями поместили пластинку кварца. Чтобы погасить свет, потребовалось повернуть анализатор на угол 22°. Найти толщину пластинки, если освещение проводилось со светом длины волны 500 нм и постоянная вращения кварца 22,7° на 1 мм. Нарисуйте схему опыта. Решение: Схема опыта: 1. Источник света. 2. Поляризатор (первый николь), который пропускает только свет с определенной плоскостью поляризации. 3. Пластинка кварца, которая обладает оптической активностью и вращает плоскость поляризации света. 4. Анализатор (второй николь), который изначально скрещен с поляризатором (то есть их плоскости пропускания перпендикулярны, и свет не проходит). 5. Глаз наблюдателя или детектор. Когда свет проходит через поляризатор, он становится плоскополяризованным. Затем он проходит через пластинку кварца, которая вращает плоскость поляризации на некоторый угол \(\varphi\). Чтобы снова погасить свет, анализатор нужно повернуть на тот же угол \(\varphi\), на который кварц повернул плоскость поляризации. Дано: * Угол поворота анализатора (и, следовательно, угол вращения плоскости поляризации кварцем) \(\varphi = 22^\circ\). * Длина волны света \(\lambda = 500\) нм. * Постоянная вращения кварца \(k = 22,7^\circ\) на 1 мм (для данной длины волны). Угол вращения плоскости поляризации \(\varphi\) оптически активным веществом пропорционален толщине \(L\) этого вещества: \[\varphi = k \cdot L\] Где \(k\) - постоянная вращения. Из этой формулы выразим толщину пластинки \(L\): \[L = \frac{\varphi}{k}\] Подставим известные значения: \[L = \frac{22^\circ}{22,7^\circ/\text{мм}}\] \[L \approx 0,969 \text{ мм}\] Ответ: Толщина пластинки кварца составляет примерно 0,969 мм. 6. Раствор поглощает 2% падающего излучения. Определите коэффициент пропускания и оптическую плотность раствора. Решение: Дано: * Раствор поглощает 2% падающего излучения. Это означает, что доля поглощенного излучения \(A = 0,02\). Коэффициент пропускания \(T\) (трансмиссия) - это доля излучения, которая проходит через раствор. Если 2% поглощается, то остальное проходит. \[T = 1 - A\] \[T = 1 - 0,02 = 0,98\] Коэффициент пропускания также можно выразить в процентах: \(T = 98\%\). Оптическая плотность \(D\) (или абсорбция \(A\), но в данном контексте \(A\) уже использовано для поглощения в процентах, поэтому будем использовать \(D\)) связана с коэффициентом пропускания по формуле: \[D = -\log_{10}(T)\] Подставим значение \(T\): \[D = -\log_{10}(0,98)\] Используем калькулятор для вычисления логарифма: \[\log_{10}(0,98) \approx -0,00877\] \[D = -(-0,00877) = 0,00877\] Ответ: Коэффициент пропускания раствора составляет 0,98 (или 98%). Оптическая плотность раствора составляет примерно 0,00877.