Решение задачи №13: Ход лучей в микроскопе

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь. Вариант №13 1. Нарисовать ход лучей в микроскопе. Общее увеличение микроскопа. Решение: Для того чтобы нарисовать ход лучей в микроскопе, нужно представить две основные оптические системы: объектив и окуляр. 1. Объектив: Это линза (или система линз) с малым фокусным расстоянием. Объект (предмет) располагается чуть дальше фокуса объектива. Объектив создает действительное, перевернутое и увеличенное промежуточное изображение. 2. Окуляр: Это линза (или система линз), которая работает как лупа. Промежуточное изображение, созданное объективом, располагается между окуляром и его фокусом. Окуляр создает мнимое, перевернутое (относительно исходного объекта) и еще более увеличенное изображение, которое видит глаз наблюдателя. Схема хода лучей: (Здесь должен быть рисунок. Поскольку я не могу рисовать, я опишу, как его нарисовать.) * Нарисуйте две собирающие линзы на одной оптической оси. Левая линза — объектив, правая — окуляр. * Обозначьте фокусы объектива \(F_{об}\) и \(F'_{об}\) и фокусы окуляра \(F_{ок}\) и \(F'_{ок}\). * Поместите объект (например, стрелку) \(AB\) перед объективом, чуть дальше его фокуса \(F_{об}\). * Постройте изображение \(A'B'\) от объектива: * Луч, идущий от точки \(B\) параллельно главной оптической оси, после объектива пройдет через фокус \(F'_{об}\). * Луч, идущий от точки \(B\) через оптический центр объектива, не преломится. * Пересечение этих лучей даст точку \(B'\). Аналогично для \(A'\). Получится действительное, перевернутое, увеличенное изображение \(A'B'\). * Это изображение \(A'B'\) теперь является объектом для окуляра. Расположите его между окуляром и его фокусом \(F_{ок}\). * Постройте изображение \(A''B''\) от окуляра: * Луч, идущий от точки \(B'\) параллельно главной оптической оси, после окуляра пройдет через фокус \(F'_{ок}\). * Луч, идущий от точки \(B'\) через оптический центр окуляра, не преломится. * Продолжения этих лучей назад (в сторону объектива) пересекутся, давая мнимое, перевернутое, увеличенное изображение \(A''B''\). Это изображение видит глаз. Общее увеличение микроскопа: Общее увеличение микроскопа \(Г\) равно произведению увеличения объектива \(Г_{об}\) и увеличения окуляра \(Г_{ок}\). \[Г = Г_{об} \cdot Г_{ок}\] Увеличение объектива обычно указывается на самом объективе (например, 40x, 100x). Увеличение окуляра также указывается на окуляре (например, 7x, 10x). 2. Чему должна быть равна числовая апертура объектива микроскопа для разрешения деталей препарата размером 0,20 мкм, если препарат освещается светом с длиной волны 0,4 мкм? Каков должен быть показатель преломления иммерсионной жидкости, если апертурный угол равен 120°? Решение: Для разрешения деталей в микроскопе используется формула разрешения Аббе. Минимальное расстояние \(d\), которое можно разрешить, определяется как: \[d = \frac{0,61 \cdot \lambda}{NA}\] где: \(d\) — минимальное разрешаемое расстояние (0,20 мкм) \(\lambda\) — длина волны света (0,4 мкм) \(NA\) — числовая апертура объектива Из этой формулы выразим числовую апертуру \(NA\): \[NA = \frac{0,61 \cdot \lambda}{d}\] Подставим известные значения: \[NA = \frac{0,61 \cdot 0,4 \text{ мкм}}{0,20 \text{ мкм}}\] \[NA = \frac{0,244}{0,20}\] \[NA = 1,22\] Теперь найдем показатель преломления иммерсионной жидкости. Числовая апертура \(NA\) также определяется как: \[NA = n \cdot \sin(\frac{\alpha}{2})\] где: \(n\) — показатель преломления среды между объектом и объективом (иммерсионная жидкость) \(\alpha\) — апертурный угол (угол между крайними лучами, входящими в объектив) Нам дан апертурный угол \(\alpha = 120^\circ\). Тогда \(\frac{\alpha}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ\). \[\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866\] Выразим \(n\): \[n = \frac{NA}{\sin(\frac{\alpha}{2})}\] Подставим значения: \[n = \frac{1,22}{\sin(60^\circ)}\] \[n = \frac{1,22}{0,866}\] \[n \approx 1,409\] Ответ: Числовая апертура объектива должна быть примерно 1,22. Показатель преломления иммерсионной жидкости должен быть примерно 1,41. 3. Можно ли использовать изображённый на рисунке объектив для рассматривания деталей объекта размером 200 нм? Длина волны осветителя 500 нм. Решение: На рисунке изображен объектив с маркировкой "90 LRS". Предположим, что "90" означает увеличение объектива (90x). Для определения возможности разрешения деталей нам нужна числовая апертура \(NA\). Обычно на объективах указывается и числовая апертура. Если предположить, что это объектив с иммерсией, то его числовая апертура может быть в диапазоне 1,25 - 1,4. Если это сухой объектив, то \(NA\) будет меньше 1 (обычно до 0,95). Давайте предположим, что это высококачественный иммерсионный объектив с \(NA = 1,25\). Длина волны \(\lambda = 500 \text{ нм} = 0,5 \text{ мкм}\). Размер детали \(d_{объект} = 200 \text{ нм} = 0,2 \text{ мкм}\). Минимальное разрешаемое расстояние \(d_{min}\) определяется по формуле Аббе: \[d_{min} = \frac{0,61 \cdot \lambda}{NA}\] Подставим значения: \[d_{min} = \frac{0,61 \cdot 0,5 \text{ мкм}}{1,25}\] \[d_{min} = \frac{0,305}{1,25}\] \[d_{min} = 0,244 \text{ мкм}\] \[d_{min} = 244 \text{ нм}\] Сравним минимальное разрешаемое расстояние с размером детали: \(d_{min} = 244 \text{ нм}\) \(d_{объект} = 200 \text{ нм}\) Поскольку \(d_{min} > d_{объект}\) (244 нм > 200 нм), это означает, что данный объектив (с предполагаемой \(NA = 1,25\)) не сможет разрешить детали размером 200 нм. Для разрешения таких мелких деталей требуется объектив с большей числовой апертурой или использование света с меньшей длиной волны. Если бы на объективе была указана числовая апертура, мы бы использовали её. Без этой информации приходится делать предположение. Если бы это был сухой объектив (например, \(NA = 0,95\)), то \(d_{min}\) был бы еще больше: \[d_{min} = \frac{0,61 \cdot 0,5 \text{ мкм}}{0,95} \approx 0,321 \text{ мкм} = 321 \text{ нм}\] В этом случае тем более нельзя было бы разрешить детали 200 нм. Ответ: Нет, нельзя использовать изображенный объектив для рассматривания деталей объекта размером 200 нм, если его числовая апертура (даже при условии иммерсии, например, 1,25) не позволяет разрешить такие мелкие детали при данной длине волны света. Минимальное разрешаемое расстояние будет больше 200 нм. 4. Между скрещёнными николями поместили пластинку кварца. Чтобы погасить свет, потребовалось повернуть анализатор на угол 22°. Найти толщину пластинки, если освещение проводилось со светом длины волны 500 нм и постоянная вращения кварца 22,7° на 1 мм. Нарисуйте схему опыта. Решение: Схема опыта: (Здесь должен быть рисунок. Опишу, как его нарисовать.) * Нарисуйте источник света. * Затем нарисуйте поляризатор (первый николь), который пропускает свет только в одной плоскости поляризации. Обозначьте его ось пропускания вертикально. * После поляризатора поместите пластинку кварца. * Затем нарисуйте анализатор (второй николь), который изначально скрещен с поляризатором, то есть его ось пропускания перпендикулярна оси поляризатора (горизонтально). В этом положении свет не должен проходить. * Покажите, что для погашения света анализатор был повернут на угол \(\alpha = 22^\circ\) относительно его исходного (скрещенного) положения. Это означает, что кварцевая пластинка повернула плоскость поляризации света на 22°. Расчет толщины пластинки: Угол поворота плоскости поляризации \(\phi\) оптически активным веществом (кварцем) пропорционален толщине слоя \(L\) и удельному вращению (постоянной вращения) \(\rho\). \[\phi = \rho \cdot L\] где: \(\phi\) — угол поворота плоскости поляризации (22°) \(\rho\) — постоянная вращения кварца (22,7° на 1 мм) \(L\) — толщина пластинки (искомая величина) Из формулы выразим \(L\): \[L = \frac{\phi}{\rho}\] Подставим известные значения: \[L = \frac{22^\circ}{22,7^\circ/\text{мм}}\] \[L \approx 0,969 \text{ мм}\] Ответ: Толщина пластинки кварца составляет примерно 0,97 мм. 5. Раствор поглощает 2% падающего излучения. Определите коэффициент пропускания и оптическую плотность раствора. Решение: 1. Коэффициент пропускания \(T\): Коэффициент пропускания — это доля падающего излучения, которая проходит через вещество. Если раствор поглощает 2% падающего излучения, это означает, что 98% излучения проходит через него. \[T = 1 - \text{доля поглощения}\] Доля поглощения в десятичных дробях: \(2\% = 0,02\). \[T = 1 - 0,02\] \[T = 0,98\] Или в процентах: \(T = 98\%\). 2. Оптическая плотность \(A\) (или экстинкция): Оптическая плотность связана с коэффициентом пропускания по формуле: \[A = -\log_{10}(T)\] где \(T\) — коэффициент пропускания в десятичных дробях. Подставим значение \(T = 0,98\): \[A = -\log_{10}(0,98)\] \[A \approx -(-0,00877)\] \[A \approx 0,00877\] Ответ: Коэффициент пропускания раствора составляет 0,98 (или 98%). Оптическая плотность раствора составляет примерно 0,0088.