Вариант А2
1. Сократите дроби:
а) \(\frac{3x^4y}{9x^3y^2}\)
Решение:
Для сокращения дроби разделим числитель и знаменатель на их общие множители.
\(\frac{3x^4y}{9x^3y^2} = \frac{3 \cdot x^3 \cdot x \cdot y}{3 \cdot 3 \cdot x^3 \cdot y \cdot y}\)
Сокращаем \(3\), \(x^3\) и \(y\):
\(= \frac{x}{3y}\)
Ответ: \(\frac{x}{3y}\)
б) \(\frac{2x^2 - 6x}{2x}\)
Решение:
Вынесем общий множитель \(2x\) из числителя:
\(\frac{2x^2 - 6x}{2x} = \frac{2x(x - 3)}{2x}\)
Сокращаем \(2x\):
\(= x - 3\)
Ответ: \(x - 3\)
в) \(\frac{a + 1}{a^2 + 2a + 1}\)
Решение:
Заметим, что знаменатель является формулой квадрата суммы: \(a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2\).
\(\frac{a + 1}{a^2 + 2a + 1} = \frac{a + 1}{(a + 1)^2}\)
Сокращаем \(a + 1\):
\(= \frac{1}{a + 1}\)
Ответ: \(\frac{1}{a + 1}\)
2. Преобразуйте в дробь:
а) \(\frac{a + 4}{4a} - \frac{a - 2}{a^2}\)
Решение:
Найдем общий знаменатель, который равен \(4a^2\).
Домножим первую дробь на \(\frac{a}{a}\), а вторую на \(\frac{4}{4}\):
\(\frac{a + 4}{4a} - \frac{a - 2}{a^2} = \frac{(a + 4) \cdot a}{4a \cdot a} - \frac{(a - 2) \cdot 4}{a^2 \cdot 4}\)
\(= \frac{a^2 + 4a}{4a^2} - \frac{4a - 8}{4a^2}\)
Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем:
\(= \frac{a^2 + 4a - (4a - 8)}{4a^2}\)
\(= \frac{a^2 + 4a - 4a + 8}{4a^2}\)
\(= \frac{a^2 + 8}{4a^2}\)
Ответ: \(\frac{a^2 + 8}{4a^2}\)
б) \(\frac{3x}{x + 3} + \frac{3x}{x - 3}\)
Решение:
Найдем общий знаменатель, который равен \((x + 3)(x - 3)\).
Домножим первую дробь на \(\frac{x - 3}{x - 3}\), а вторую на \(\frac{x + 3}{x + 3}\):
\(\frac{3x}{x + 3} + \frac{3x}{x - 3} = \frac{3x(x - 3)}{(x + 3)(x - 3)} + \frac{3x(x + 3)}{(x - 3)(x + 3)}\)
\(= \frac{3x^2 - 9x}{(x + 3)(x - 3)} + \frac{3x^2 + 9x}{(x + 3)(x - 3)}\)
Выполним сложение дробей с одинаковым знаменателем:
\(= \frac{3x^2 - 9x + 3x^2 + 9x}{(x + 3)(x - 3)}\)
\(= \frac{6x^2}{x^2 - 9}\)
Ответ: \(\frac{6x^2}{x^2 - 9}\)
в) \(\frac{9x^2}{3xy - y^2} - \frac{y}{3x - y}\)
Решение:
Разложим знаменатель первой дроби на множители: \(3xy - y^2 = y(3x - y)\).
Тогда общий знаменатель будет \(y(3x - y)\).
\(\frac{9x^2}{y(3x - y)} - \frac{y}{3x - y}\)
Домножим вторую дробь на \(\frac{y}{y}\):
\(= \frac{9x^2}{y(3x - y)} - \frac{y \cdot y}{(3x - y) \cdot y}\)
\(= \frac{9x^2}{y(3x - y)} - \frac{y^2}{y(3x - y)}\)
Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем:
\(= \frac{9x^2 - y^2}{y(3x - y)}\)
Заметим, что числитель является разностью квадратов: \(9x^2 - y^2 = (3x)^2 - y^2 = (3x - y)(3x + y)\).
\(= \frac{(3x - y)(3x + y)}{y(3x - y)}\)
Сокращаем \(3x - y\):
\(= \frac{3x + y}{y}\)
Ответ: \(\frac{3x + y}{y}\)
г) \(a - 3b + \frac{6ab}{a - 3b}\)
Решение:
Представим \(a - 3b\) как дробь со знаменателем \(1\): \(\frac{a - 3b}{1}\).
Общий знаменатель будет \(a - 3b\).
Домножим первую дробь на \(\frac{a - 3b}{a - 3b}\):
\(\frac{(a - 3b)(a - 3b)}{a - 3b} + \frac{6ab}{a - 3b}\)
\(= \frac{(a - 3b)^2}{a - 3b} + \frac{6ab}{a - 3b}\)
Раскроем квадрат разности: \((a - 3b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 3b + (3b)^2 = a^2 - 6ab + 9b^2\).
\(= \frac{a^2 - 6ab + 9b^2 + 6ab}{a - 3b}\)
Приведем подобные слагаемые в числителе:
\(= \frac{a^2 + 9b^2}{a - 3b}\)
Ответ: \(\frac{a^2 + 9b^2}{a - 3b}\)
3. Упростите выражение:
\(\frac{1}{x + 2} + \frac{2}{x^2 - 2x} - \frac{4}{4 - x^2}\)
Решение:
Разложим знаменатели на множители:
\(x^2 - 2x = x(x - 2)\)
\(4 - x^2 = -(x^2 - 4) = -(x - 2)(x + 2)\)
Перепишем выражение с разложенными знаменателями:
\(\frac{1}{x + 2} + \frac{2}{x(x - 2)} - \frac{4}{-(x - 2)(x + 2)}\)
Изменим знак перед третьей дробью и в знаменателе:
\(= \frac{1}{x + 2} + \frac{2}{x(x - 2)} + \frac{4}{(x - 2)(x + 2)}\)
Найдем общий знаменатель, который равен \(x(x - 2)(x + 2)\).
Домножим каждую дробь на недостающие множители:
\(= \frac{1 \cdot x(x - 2)}{x(x - 2)(x + 2)} + \frac{2 \cdot (x + 2)}{x(x - 2)(x + 2)} + \frac{4 \cdot x}{x(x - 2)(x + 2)}\)
\(= \frac{x(x - 2) + 2(x + 2) + 4x}{x(x - 2)(x + 2)}\)
Раскроем скобки в числителе:
\(= \frac{x^2 - 2x + 2x + 4 + 4x}{x(x - 2)(x + 2)}\)
Приведем подобные слагаемые в числителе:
\(= \frac{x^2 + 4x + 4}{x(x - 2)(x + 2)}\)
Заметим, что числитель является формулой квадрата суммы: \(x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2\).
\(= \frac{(x + 2)^2}{x(x - 2)(x + 2)}\)
Сокращаем \(x + 2\):
\(= \frac{x + 2}{x(x - 2)}\)
Ответ: \(\frac{x + 2}{x(x - 2)}\)
4. Найдите допустимые значения переменной в выражении:
\(\frac{x + 3}{x^2 + x}\)
Решение:
Допустимые значения переменной – это те значения, при которых выражение имеет смысл. В случае дроби это означает, что знаменатель не должен быть равен нулю.
Приравняем знаменатель к нулю и найдем значения \(x\), которые исключаются:
\(x^2 + x = 0\)
Вынесем \(x\) за скобки:
\(x(x + 1) = 0\)
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
\(x = 0\) или \(x + 1 = 0\)
\(x = 0\) или \(x = -1\)
Таким образом, значения \(x = 0\) и \(x = -1\) являются недопустимыми.
Допустимые значения переменной \(x\) – это все действительные числа, кроме \(0\) и \(-1\).
Ответ: \(x \neq 0\), \(x \neq -1\)