Решение задачи: треугольник ARP, углы 36 и 114 градусов

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику.
1. Углы \(R\) и \(P\) треугольника \(ARP\) равны соответственно \(36^\circ\) и \(114^\circ\). Найдите \(RP\), если радиус окружности, описанной около треугольника \(ARP\), равен \(5\). Решение: 1. Найдем третий угол треугольника \(ARP\). Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\). Угол \(A = 180^\circ - (R + P) = 180^\circ - (36^\circ + 114^\circ) = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ\). 2. Воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности. \[\frac{RP}{\sin A} = 2R_{окр}\] где \(RP\) - сторона, \(A\) - противолежащий угол, \(R_{окр}\) - радиус описанной окружности. 3. Подставим известные значения: \[\frac{RP}{\sin 30^\circ} = 2 \cdot 5\] \[\frac{RP}{0.5} = 10\] 4. Найдем \(RP\): \[RP = 10 \cdot 0.5\] \[RP = 5\] Ответ: \(5\).
2. В треугольнике \(DPN\) угол \(D\) равен \(45^\circ\), угол \(P\) равен \(60^\circ\), \(PN = 33\sqrt{6}\). Найдите \(DN\). Решение: 1. Воспользуемся теоремой синусов. \[\frac{DN}{\sin P} = \frac{PN}{\sin D}\] 2. Подставим известные значения: \[\frac{DN}{\sin 60^\circ} = \frac{33\sqrt{6}}{\sin 45^\circ}\] 3. Известно, что \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\). \[\frac{DN}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{33\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\] 4. Выразим \(DN\): \[DN = \frac{33\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\] \[DN = \frac{33\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2}}\] \[DN = 33 \cdot \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}\] \[DN = 33 \cdot \sqrt{\frac{18}{2}}\] \[DN = 33 \cdot \sqrt{9}\] \[DN = 33 \cdot 3\] \[DN = 99\] Ответ: \(99\).
3. В треугольнике \(HBF\) известно, что \(HB = 42\), \(BF = 40\), \(HF = 26\). Найдите \(\cos \angle HBF\). Решение: 1. Воспользуемся теоремой косинусов. Теорема косинусов для угла \(HBF\) (или угла \(B\)) выглядит так: \[HF^2 = HB^2 + BF^2 - 2 \cdot HB \cdot BF \cdot \cos \angle HBF\] 2. Подставим известные значения: \[26^2 = 42^2 + 40^2 - 2 \cdot 42 \cdot 40 \cdot \cos \angle HBF\] 3. Вычислим квадраты: \(26^2 = 676\) \(42^2 = 1764\) \(40^2 = 1600\) 4. Подставим в уравнение: \[676 = 1764 + 1600 - 2 \cdot 42 \cdot 40 \cdot \cos \angle HBF\] \[676 = 3364 - 3360 \cdot \cos \angle HBF\] 5. Перенесем \(3364\) в левую часть: \[676 - 3364 = -3360 \cdot \cos \angle HBF\] \[-2688 = -3360 \cdot \cos \angle HBF\] 6. Найдем \(\cos \angle HBF\): \[\cos \angle HBF = \frac{-2688}{-3360}\] \[\cos \angle HBF = \frac{2688}{3360}\] 7. Сократим дробь. Можно последовательно делить на общие множители. Например, на \(8\): \(2688 \div 8 = 336\) \(3360 \div 8 = 420\) \[\cos \angle HBF = \frac{336}{420}\] Еще на \(4\): \(336 \div 4 = 84\) \(420 \div 4 = 105\) \[\cos \angle HBF = \frac{84}{105}\] Еще на \(21\): \(84 \div 21 = 4\) \(105 \div 21 = 5\) \[\cos \angle HBF = \frac{4}{5}\] \[\cos \angle HBF = 0.8\] Ответ: \(0.8\).