Знак функции
На рисунке изображён график функции \(y = F(x)\) — одной из первообразных некоторой функции \(f(x)\) и отмечены 11 точек на оси абсцисс: \(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7, x_8, x_9, x_{10}, x_{11}\). В скольких из этих точек функция \(f(x)\) положительна?
Решение:
1. По определению первообразной, если \(F(x)\) является первообразной для \(f(x)\), то \(F'(x) = f(x)\).
2. Нам нужно определить, в каких точках функция \(f(x)\) положительна. Это означает, что нам нужно найти точки, в которых \(F'(x) > 0\).
3. Производная функции \(F(x)\) положительна там, где функция \(F(x)\) возрастает.
4. Рассмотрим график функции \(y = F(x)\) и определим интервалы, на которых функция возрастает:
- На интервале от \(x_1\) до \(x_2\) функция \(F(x)\) убывает.
- На интервале от \(x_2\) до \(x_3\) функция \(F(x)\) возрастает.
- На интервале от \(x_3\) до \(x_4\) функция \(F(x)\) убывает.
- На интервале от \(x_4\) до \(x_6\) функция \(F(x)\) возрастает.
- На интервале от \(x_6\) до \(x_8\) функция \(F(x)\) убывает.
- На интервале от \(x_8\) до \(x_{10}\) функция \(F(x)\) возрастает.
- На интервале от \(x_{10}\) до \(x_{11}\) функция \(F(x)\) убывает.
5. Теперь проверим каждую из отмеченных точек:
- \(x_1\): Функция \(F(x)\) убывает в окрестности этой точки. \(f(x_1) < 0\).
- \(x_2\): Точка локального минимума. \(f(x_2) = 0\).
- \(x_3\): Точка локального максимума. \(f(x_3) = 0\).
- \(x_4\): Точка локального минимума. \(f(x_4) = 0\).
- \(x_5\): Находится на интервале \((x_4, x_6)\), где \(F(x)\) возрастает. Значит, \(f(x_5) > 0\).
- \(x_6\): Точка локального максимума. \(f(x_6) = 0\).
- \(x_7\): Находится на интервале \((x_6, x_8)\), где \(F(x)\) убывает. Значит, \(f(x_7) < 0\).
- \(x_8\): Точка локального минимума. \(f(x_8) = 0\).
- \(x_9\): Находится на интервале \((x_8, x_{10})\), где \(F(x)\) возрастает. Значит, \(f(x_9) > 0\).
- \(x_{10}\): Точка локального максимума. \(f(x_{10}) = 0\).
- \(x_{11}\): Находится на интервале \((x_{10}, x_{11})\), где \(F(x)\) убывает. Значит, \(f(x_{11}) < 0\).
6. Функция \(f(x)\) положительна в точках, где \(F(x)\) возрастает. Это точки \(x_5\) и \(x_9\).
Ответ: Функция \(f(x)\) положительна в 2 точках.