Решение задачи по геометрии 8 класс: Подобие треугольников

Вот решения задач по геометрии для 8 класса.

Д/З по геометрии 8 класс

1) Известно, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны, причём стороне AB соответствует сторона A₁B₁, а стороне BC — сторона B₁C₁. Найдите неизвестные стороны этих треугольников. (См. рис 1)

Решение:

По условию, треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны. Это значит, что отношения их соответствующих сторон равны, и этот коэффициент называется коэффициентом подобия \(k\).

Из условия также известно, что стороне AB соответствует сторона A₁B₁, а стороне BC — сторона B₁C₁. Отсюда следует, что стороне AC соответствует сторона A₁C₁.

Запишем отношения соответствующих сторон:

\[ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k \]

Рассмотрим каждый случай, представленный на рисунке 1.

Случай а):

Для первого треугольника ABC: AB = 4, AC = 2, BC = 5.

Для второго треугольника A₁B₁C₁: A₁C₁ = 5.

Найдем коэффициент подобия \(k\), используя известные стороны AC и A₁C₁:

\[ k = \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{2}{5} \]

Теперь найдем неизвестные стороны A₁B₁ и B₁C₁:

\[ \frac{AB}{A_1B_1} = k \Rightarrow A_1B_1 = \frac{AB}{k} = \frac{4}{\frac{2}{5}} = \frac{4 \cdot 5}{2} = \frac{20}{2} = 10 \] \[ \frac{BC}{B_1C_1} = k \Rightarrow B_1C_1 = \frac{BC}{k} = \frac{5}{\frac{2}{5}} = \frac{5 \cdot 5}{2} = \frac{25}{2} = 12.5 \]

Ответ для случая а): A₁B₁ = 10, B₁C₁ = 12.5.

Случай б):

Для первого треугольника ABC: AC = 12, BC = 11.

Для второго треугольника A₁B₁C₁: A₁C₁ = 8, A₁B₁ = 6.

Найдем коэффициент подобия \(k\), используя известные стороны A₁C₁ и AC:

\[ k = \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5 \]

Проверим этот коэффициент с помощью сторон AB и A₁B₁. Для этого сначала найдем AB:

\[ \frac{AB}{A_1B_1} = k \Rightarrow AB = k \cdot A_1B_1 = \frac{3}{2} \cdot 6 = 3 \cdot 3 = 9 \]

Теперь найдем неизвестную сторону B₁C₁:

\[ \frac{BC}{B_1C_1} = k \Rightarrow B_1C_1 = \frac{BC}{k} = \frac{11}{\frac{3}{2}} = \frac{11 \cdot 2}{3} = \frac{22}{3} \approx 7.33 \]

Ответ для случая б): AB = 9, B₁C₁ = \(\frac{22}{3}\) или примерно 7.33.

2) Стороны треугольника равны 6 см, 4 см и 8 см. Найдите стороны подобного ему треугольника, периметр которого равен 108 см.

Решение:

Пусть стороны первого треугольника будут \(a_1 = 6\) см, \(b_1 = 4\) см, \(c_1 = 8\) см.

Периметр первого треугольника \(P_1\) равен:

\[ P_1 = a_1 + b_1 + c_1 = 6 + 4 + 8 = 18 \text{ см} \]

Пусть стороны второго, подобного ему треугольника будут \(a_2\), \(b_2\), \(c_2\).

Периметр второго треугольника \(P_2\) равен 108 см.

Известно, что отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия \(k\):

\[ k = \frac{P_2}{P_1} = \frac{108}{18} = 6 \]

Теперь, зная коэффициент подобия, мы можем найти стороны второго треугольника:

\[ a_2 = k \cdot a_1 = 6 \cdot 6 = 36 \text{ см} \] \[ b_2 = k \cdot b_1 = 6 \cdot 4 = 24 \text{ см} \] \[ c_2 = k \cdot c_1 = 6 \cdot 8 = 48 \text{ см} \]

Проверим периметр второго треугольника:

\[ P_2 = 36 + 24 + 48 = 108 \text{ см} \]

Это соответствует условию задачи.

Ответ: Стороны подобного треугольника равны 36 см, 24 см и 48 см.

3) Докажите, что треугольник ABC подобен треугольнику A₁B₁C₁. (См. рис 2)

Решение:

Для доказательства подобия двух треугольников достаточно показать, что отношения их соответствующих сторон равны (признак подобия по трём сторонам).

Из рисунка 2 имеем:

Для треугольника ABC: AB = 12, BC = 16, AC = 24.

Для треугольника A₁B₁C₁: A₁B₁ = 6, B₁C₁ = 8, A₁C₁ = 12.

Найдем отношения соответствующих сторон:

\[ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{12}{6} = 2 \] \[ \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{16}{8} = 2 \] \[ \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{24}{12} = 2 \]

Так как отношения всех соответствующих сторон равны одному и тому же числу (коэффициенту подобия \(k=2\)), то треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны по признаку подобия по трём сторонам.

Что и требовалось доказать.