Первообразная
Выберите первообразную функции \((x + 1)^4\).
Решение:
1. Нам нужно найти первообразную функции \(f(x) = (x + 1)^4\).
2. Мы знаем, что первообразная степенной функции \(x^n\) равна \(\frac{x^{n+1}}{n+1} + C\).
3. В нашем случае, вместо \(x\) стоит \((x + 1)\), а \(n = 4\).
4. Применим формулу для нахождения первообразной:
\[F(x) = \int (x + 1)^4 dx\] \[F(x) = \frac{(x + 1)^{4+1}}{4+1} + C\] \[F(x) = \frac{(x + 1)^5}{5} + C\]5. Среди предложенных вариантов нужно выбрать тот, который соответствует найденной первообразной (без константы \(C\), так как обычно в таких задачах подразумевается одна из первообразных).
6. Сравним наш результат с предложенными вариантами:
- \(\frac{(x + 1)^5}{5}\)
- \((x + 1)^5\)
- \(4(x + 1)^5\)
- \(4(x + 1)^3\)
- \(\frac{(x + 1)^4}{4}\)
- \(\frac{(x + 1)^3}{4}\)
7. Первый вариант \(\frac{(x + 1)^5}{5}\) точно соответствует нашей найденной первообразной.
Проверка (дифференцирование):
Чтобы убедиться в правильности выбора, можно взять производную от предполагаемой первообразной:
\[\left( \frac{(x + 1)^5}{5} \right)' = \frac{1}{5} \cdot 5 \cdot (x + 1)^{5-1} \cdot (x + 1)'\] \[= 1 \cdot (x + 1)^4 \cdot 1\] \[= (x + 1)^4\]Производная совпадает с исходной функцией, значит, выбор верен.
Ответ: \(\frac{(x + 1)^5}{5}\)