Первообразная
Найдите первообразную функции \(f(x) = 5 \cos x + x^4\).
Решение:
1. Нам нужно найти первообразную функции \(f(x) = 5 \cos x + x^4\).
2. Первообразная суммы функций равна сумме первообразных этих функций. То есть, мы можем найти первообразную для каждого слагаемого отдельно.
\[F(x) = \int (5 \cos x + x^4) dx = \int 5 \cos x dx + \int x^4 dx\]3. Найдем первообразную для первого слагаемого \(5 \cos x\):
Мы знаем, что первообразная для \(\cos x\) равна \(\sin x\). Константа 5 выносится за знак интеграла.
\[\int 5 \cos x dx = 5 \int \cos x dx = 5 \sin x + C_1\]4. Найдем первообразную для второго слагаемого \(x^4\):
Мы используем формулу для первообразной степенной функции \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\).
В нашем случае \(n = 4\).
\[\int x^4 dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} + C_2 = \frac{x^5}{5} + C_2\]5. Теперь сложим найденные первообразные и объединим константы \(C_1\) и \(C_2\) в одну общую константу \(C\):
\[F(x) = 5 \sin x + \frac{x^5}{5} + C\]6. Сравним наш результат с предложенными вариантами:
- \(5 \sin x + \frac{5x^4}{4} + C\)
- \(-5 \sin x + \frac{5x^4}{4} + C\)
- \(-5 \sin x + \frac{x^5}{5} + C\)
- \(5 \sin x + \frac{x^5}{5} + C\)
7. Четвертый вариант \(5 \sin x + \frac{x^5}{5} + C\) точно соответствует нашей найденной первообразной.
Проверка (дифференцирование):
Чтобы убедиться в правильности выбора, можно взять производную от предполагаемой первообразной:
\[\left( 5 \sin x + \frac{x^5}{5} + C \right)' = (5 \sin x)' + \left( \frac{x^5}{5} \right)' + (C)'\] \[= 5 \cos x + \frac{1}{5} \cdot 5x^{5-1} + 0\] \[= 5 \cos x + x^4\]Производная совпадает с исходной функцией \(f(x)\), значит, выбор верен.
Ответ: \(5 \sin x + \frac{x^5}{5} + C\)