Первообразная
Найдите первообразную функции \(f(x) = -\frac{1}{x} + \cos x\).
Решение:
1. Нам нужно найти первообразную функции \(f(x) = -\frac{1}{x} + \cos x\).
2. Первообразная суммы функций равна сумме первообразных этих функций. То есть, мы можем найти первообразную для каждого слагаемого отдельно.
\[F(x) = \int \left( -\frac{1}{x} + \cos x \right) dx = \int -\frac{1}{x} dx + \int \cos x dx\]3. Найдем первообразную для первого слагаемого \(-\frac{1}{x}\):
Мы знаем, что первообразная для \(\frac{1}{x}\) равна \(\ln |x|\). Знак минус сохраняется.
\[\int -\frac{1}{x} dx = - \int \frac{1}{x} dx = - \ln |x| + C_1\]4. Найдем первообразную для второго слагаемого \(\cos x\):
Мы знаем, что первообразная для \(\cos x\) равна \(\sin x\).
\[\int \cos x dx = \sin x + C_2\]5. Теперь сложим найденные первообразные и объединим константы \(C_1\) и \(C_2\) в одну общую константу \(C\):
\[F(x) = - \ln |x| + \sin x + C\]6. Сравним наш результат с предложенными вариантами:
- \(F(x) = - \ln |x| - \sin x + C\)
- \(F(x) = \frac{1}{x^2} - \sin x + C\)
- \(F(x) = - \ln |x| + \sin x + C\)
- \(F(x) = \ln |x| + \sin x + C\)
7. Третий вариант \(F(x) = - \ln |x| + \sin x + C\) точно соответствует нашей найденной первообразной.
Проверка (дифференцирование):
Чтобы убедиться в правильности выбора, можно взять производную от предполагаемой первообразной:
\[\left( - \ln |x| + \sin x + C \right)' = (- \ln |x|)' + (\sin x)' + (C)'\] \[= - \frac{1}{x} + \cos x + 0\] \[= - \frac{1}{x} + \cos x\]Производная совпадает с исходной функцией \(f(x)\), значит, выбор верен.
Ответ: \(F(x) = - \ln |x| + \sin x + C\)