Первообразная
Найдите первообразную функции
\[f(x) = -\frac{1}{x} + \cos x.\]Решение:
Для того чтобы найти первообразную функции \(f(x)\), нам нужно найти такую функцию \(F(x)\), производная которой равна \(f(x)\), то есть \(F'(x) = f(x)\).
Мы знаем, что первообразная суммы функций равна сумме первообразных этих функций. То есть, если \(f(x) = g(x) + h(x)\), то \(F(x) = G(x) + H(x) + C\), где \(C\) — произвольная постоянная.
В нашем случае функция \(f(x)\) состоит из двух слагаемых: \(g(x) = -\frac{1}{x}\) и \(h(x) = \cos x\).
1. Найдем первообразную для \(g(x) = -\frac{1}{x}\).
Мы знаем, что производная функции \(\ln |x|\) равна \(\frac{1}{x}\). То есть, \((\ln |x|)' = \frac{1}{x}\).
Следовательно, первообразная для \(\frac{1}{x}\) будет \(\ln |x|\).
Тогда первообразная для \(-\frac{1}{x}\) будет \(-\ln |x|\).
2. Найдем первообразную для \(h(x) = \cos x\).
Мы знаем, что производная функции \(\sin x\) равна \(\cos x\). То есть, \((\sin x)' = \cos x\).
Следовательно, первообразная для \(\cos x\) будет \(\sin x\).
3. Теперь сложим найденные первообразные и добавим произвольную постоянную \(C\).
Таким образом, первообразная функции \(f(x) = -\frac{1}{x} + \cos x\) будет:
\[F(x) = -\ln |x| + \sin x + C.\]Сравним наш результат с предложенными вариантами:
- \(F(x) = -\ln |x| - \sin x + C\)
- \(F(x) = \frac{1}{x^2} - \sin x + C\)
- \(F(x) = -\ln |x| + \sin x + C\)
- \(F(x) = \ln |x| + \sin x + C\)
Наш результат совпадает с третьим вариантом.
Ответ:
Правильный вариант: \(F(x) = -\ln |x| + \sin x + C\).