Первообразная
Для функции \(y = \cos(3x)\) найдите первообразную, график которой проходит через точку \(M(0;0)\).
Решение:
1. Найдем общую формулу первообразной для функции \(f(x) = \cos(3x)\).
Мы знаем, что первообразная функции \(\cos(kx)\) равна \(\frac{1}{k}\sin(kx) + C\), где \(C\) — произвольная постоянная.
В нашем случае \(k = 3\). Поэтому первообразная \(F(x)\) будет:
\[F(x) = \frac{1}{3}\sin(3x) + C.\]2. Используем условие, что график первообразной проходит через точку \(M(0;0)\).
Это означает, что когда \(x = 0\), то \(F(x) = 0\). Подставим эти значения в формулу первообразной:
\[0 = \frac{1}{3}\sin(3 \cdot 0) + C.\] \[0 = \frac{1}{3}\sin(0) + C.\]Мы знаем, что \(\sin(0) = 0\).
\[0 = \frac{1}{3} \cdot 0 + C.\] \[0 = 0 + C.\] \[C = 0.\]3. Подставим найденное значение \(C\) в общую формулу первообразной.
Таким образом, искомая первообразная, график которой проходит через точку \(M(0;0)\), будет:
\[F(x) = \frac{1}{3}\sin(3x) + 0.\] \[F(x) = \frac{\sin(3x)}{3}.\]Сравним наш результат с предложенными вариантами:
- \(y = \frac{\sin(3x)}{3}\)
- \(y = \frac{\sin(3x)}{3} + \pi\)
- \(y = \frac{\sin(3x)}{3} - \pi\)
- \(y = 3\sin(3x) + \pi\)
- \(y = 3\sin(3x) - \pi\)
- \(y = 3\sin(3x)\)
Наш результат совпадает с первым вариантом.
Ответ:
Правильный вариант: \(y = \frac{\sin(3x)}{3}\).