Решение задачи 681: Нахождение проекций катетов в прямоугольном треугольнике

Решение задачи №681. Дано: Треугольник прямоугольный. Катеты \( a : b = 3 : 4 \). Гипотенуза \( c = 50 \) мм. Найти: \( a_c \) и \( b_c \) (проекции катетов на гипотенузу). Решение: 1. Пусть коэффициент пропорциональности равен \( x \). Тогда катеты равны: \( a = 3x \), \( b = 4x \). 2. По теореме Пифагора: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] \[ (3x)^2 + (4x)^2 = 50^2 \] \[ 9x^2 + 16x^2 = 2500 \] \[ 25x^2 = 2500 \] \[ x^2 = 100 \] \[ x = 10 \] 3. Найдем длины катетов: \( a = 3 \cdot 10 = 30 \) мм. \( b = 4 \cdot 10 = 40 \) мм. 4. Используем метрические соотношения в прямоугольном треугольнике: Каждый катет есть среднее геометрическое между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу. \[ a^2 = a_c \cdot c \] \[ b^2 = b_c \cdot c \] 5. Вычислим проекции: \[ a_c = \frac{a^2}{c} = \frac{30^2}{50} = \frac{900}{50} = 18 \text{ мм} \] \[ b_c = \frac{b^2}{c} = \frac{40^2}{50} = \frac{1600}{50} = 32 \text{ мм} \] Проверка: \( a_c + b_c = 18 + 32 = 50 \) мм, что соответствует длине гипотенузы. Ответ: 18 мм и 32 мм.