Решение задачи: Пирамида SABCD. Найти SA и SB

Задача В Дано: Пирамида \(SABCD\), в основании ромб \(ABCD\). Сторона ромба \(AB = 5\) см. Диагональ \(AC = 8\) см. Высота \(SO\) проходит через точку пересечения диагоналей \(O\). \(SO = 7\) см. Найти: боковые ребра \(SA\) и \(SB\). Решение: 1. Диагонали ромба в точке пересечения \(O\) делятся пополам и перпендикулярны друг другу. Следовательно, \(AO = AC : 2 = 8 : 2 = 4\) см. 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(AOB\) (\(\angle AOB = 90^\circ\)). По теореме Пифагора найдем половину второй диагонали \(BO\): \[BO = \sqrt{AB^2 - AO^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \text{ см.}\] 3. Так как \(SO\) — высота пирамиды, она перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости. Треугольники \(SOA\) и \(SOB\) — прямоугольные. 4. Из треугольника \(SOA\) по теореме Пифагора найдем ребро \(SA\): \[SA = \sqrt{SO^2 + AO^2} = \sqrt{7^2 + 4^2} = \sqrt{49 + 16} = \sqrt{65} \text{ см.}\] Так как \(O\) — центр симметрии ромба, то \(SA = SC = \sqrt{65}\) см. 5. Из треугольника \(SOB\) по теореме Пифагора найдем ребро \(SB\): \[SB = \sqrt{SO^2 + BO^2} = \sqrt{7^2 + 3^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58} \text{ см.}\] Аналогично, \(SB = SD = \sqrt{58}\) см. Ответ: \(\sqrt{65}\) см, \(\sqrt{58}\) см. Задача Г Дано: Правильная четырехугольная пирамида. Сторона основания — \(c\). Боковое ребро — \(a\). Найти: высоту \(H\). Решение: 1. В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат со стороной \(c\). Диагональ квадрата \(d\) вычисляется по формуле: \[d = c\sqrt{2}\] 2. Высота правильной пирамиды падает в центр основания (точку пересечения диагоналей). Расстояние от центра до вершины основания равно половине диагонали: \[R = \frac{d}{2} = \frac{c\sqrt{2}}{2}\] 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой \(H\), боковым ребром \(a\) и половиной диагонали основания \(R\). По теореме Пифагора: \[H^2 + R^2 = a^2\] \[H = \sqrt{a^2 - R^2}\] 4. Подставим значение \(R\): \[H = \sqrt{a^2 - \left(\frac{c\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{2c^2}{4}} = \sqrt{a^2 - \frac{c^2}{2}}\] Ответ: \(H = \sqrt{a^2 - \frac{c^2}{2}}\)