Решение задачи: Первая космическая скорость планеты

Задача 3. Дано: \(v_1 = 7,9\) км/с — первая космическая скорость для Земли. \(R_п = 2 \cdot R_З\) — радиус планеты в 2 раза больше радиуса Земли. \(g_п = 2 \cdot g_З\) — ускорение свободного падения на планете в 2 раза больше, чем на Земле. Найти: \(v_{п}\) — первую космическую скорость для этой планеты. Решение: Первая космическая скорость определяется по формуле: \[v = \sqrt{g \cdot R}\] Запишем формулу для первой космической скорости на Земле: \[v_1 = \sqrt{g_З \cdot R_З}\] Запишем формулу для первой космической скорости на планете: \[v_п = \sqrt{g_п \cdot R_п}\] Подставим в формулу для планеты значения \(g_п\) и \(R_п\) через земные характеристики: \[v_п = \sqrt{(2 \cdot g_З) \cdot (2 \cdot R_З)} = \sqrt{4 \cdot g_З \cdot R_З}\] Вынесем множитель 4 из-под знака корня: \[v_п = 2 \cdot \sqrt{g_З \cdot R_З}\] Заметим, что выражение под корнем равно первой космической скорости для Земли (\(v_1\)): \[v_п = 2 \cdot v_1\] Подставим числовое значение: \[v_п = 2 \cdot 7,9 = 15,8 \approx 16 \text{ км/с}\] Ответ: 3) 16 км/с.