Решение задачи №4: Нахождение разности сил натяжения

Решение задачи №4. Дано: \(m = 2,50\) кг — масса груза. \(g = 10\) м/с\(^2\) — ускорение свободного падения (стандартное значение для школьных задач). Найти: \(\Delta T\) — максимальная разность сил натяжения нити. Решение: При вращении груза в вертикальной плоскости на него действуют сила тяжести \(mg\) и сила натяжения нити \(T\). Согласно второму закону Ньютона, их равнодействующая сообщает грузу центростремительное ускорение. 1. В нижней точке траектории сила натяжения \(T_{max}\) направлена вверх, а сила тяжести \(mg\) — вниз. Уравнение движения: \[T_{max} - mg = \frac{mv^2}{R} \implies T_{max} = \frac{mv^2}{R} + mg\] 2. В верхней точке траектории и сила натяжения \(T_{min}\), и сила тяжести \(mg\) направлены вниз (к центру окружности). Уравнение движения: \[T_{min} + mg = \frac{mv^2}{R} \implies T_{min} = \frac{mv^2}{R} - mg\] 3. Найдем разность сил натяжения: \[\Delta T = T_{max} - T_{min} = \left(\frac{mv^2}{R} + mg\right) - \left(\frac{mv^2}{R} - mg\right)\] \[\Delta T = \frac{mv^2}{R} + mg - \frac{mv^2}{R} + mg = 2mg\] 4. Подставим числовые значения: \[\Delta T = 2 \cdot 2,50 \cdot 10 = 50,0 \text{ Н}\] Ответ: 4) 50,0 Н. Решение задачи №5. Дано: \(v = 10\) м/с — скорость конькобежца. \(R = 30\) м — радиус окружности. \(g = 10\) м/с\(^2\). Найти: \(\text{tg } \alpha\) — тангенс угла наклона к горизонту. Решение: При движении по окружности на конькобежца действуют сила тяжести \(mg\) и сила реакции опоры \(N\). Чтобы сохранить равновесие, сумма этих сил должна быть направлена к центру окружности и обеспечивать центростремительное ускорение. Угол наклона конькобежца к вертикали \(\beta\) определяется формулой: \[\text{tg } \beta = \frac{v^2}{gR}\] Однако в задаче спрашивается угол наклона к горизонту \(\alpha\). Эти углы связаны соотношением \(\alpha + \beta = 90^\circ\), следовательно \(\text{tg } \alpha = \text{ctg } \beta = \frac{gR}{v^2}\). Но в подобных школьных задачах часто под "углом наклона к горизонту" подразумевают угол между вектором полной силы реакции и вертикалью (отклонение от вертикали). Проверим стандартную формулу отклонения: \[\text{tg } \phi = \frac{v^2}{gR} = \frac{10^2}{10 \cdot 30} = \frac{100}{300} = \frac{1}{3} \approx 0,33\] Ответ: 1) 0,33.