Решение задачи №8: Период обращения спутника на высоте R

Задача №8 Дано: \(h = R\) \(R = 6400 \text{ км} = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м}\) \(g_0 = 10 \text{ м/с}^2\) Найти: \(T\) — ? Решение: 1. Спутник движется по круговой орбите радиусом \(r\), который равен сумме радиуса Земли и высоты полета: \[r = R + h = R + R = 2R\] 2. На спутник действует сила всемирного тяготения, которая сообщает ему центростремительное ускорение: \[F = m a_n\] \[G \frac{M m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}\] где \(M\) — масса Земли, \(m\) — масса спутника, \(v\) — его скорость. 3. Ускорение свободного падения у поверхности Земли выражается формулой: \[g_0 = G \frac{M}{R^2} \implies GM = g_0 R^2\] 4. Подставим выражение для \(GM\) и \(r = 2R\) в уравнение движения: \[\frac{g_0 R^2}{(2R)^2} = \frac{v^2}{2R}\] \[\frac{g_0 R^2}{4R^2} = \frac{v^2}{2R} \implies \frac{g_0}{4} = \frac{v^2}{2R}\] Отсюда квадрат скорости: \[v^2 = \frac{2R g_0}{4} = \frac{R g_0}{2}\] \[v = \sqrt{\frac{R g_0}{2}}\] 5. Период обращения \(T\) связан со скоростью и радиусом орбиты формулой: \[T = \frac{2 \pi r}{v} = \frac{2 \pi (2R)}{v} = \frac{4 \pi R}{v}\] 6. Подставим выражение для скорости: \[T = 4 \pi R \sqrt{\frac{2}{R g_0}} = 4 \pi \sqrt{\frac{2R^2}{R g_0}} = 4 \pi \sqrt{\frac{2R}{g_0}}\] 7. Вычислим значение: \[T = 4 \cdot 3,14 \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot 6,4 \cdot 10^6}{10}} = 12,56 \cdot \sqrt{1,28 \cdot 10^6} \approx 12,56 \cdot 1131 \approx 14205 \text{ с}\] 8. Переведем секунды в часы: \[T \approx \frac{14205}{3600} \approx 3,94 \text{ ч} \approx 4 \text{ ч}\] Ответ: 4) 4 ч.