Решение задачи №1: Механическое движение, Вариант 2

Вот решения задач из контрольной работы. Механическое движение. Контрольная работа 1 Вариант 2 1. Какой из графиков (рис. 1) соответствует графику зависимости пути от времени при равномерном прямолинейном движении? Решение: При равномерном прямолинейном движении тело проходит равные пути за равные промежутки времени. Это означает, что зависимость пути \(s\) от времени \(t\) является линейной функцией, проходящей через начало координат (если начальный путь равен нулю) или имеющей постоянный наклон. График 1) показывает, что путь не меняется со временем, это соответствует состоянию покоя. График 2) показывает, что путь уменьшается со временем, это движение в обратном направлении. График 3) показывает, что путь линейно увеличивается со временем, что соответствует равномерному прямолинейному движению. График 4) показывает, что путь увеличивается нелинейно, это соответствует ускоренному движению. Ответ: График 3). 2. Летучая рыба, которая водится в тропических морях, может пролететь над водой расстояние \(s = 150\) м. Определите продолжительность полета рыбы, если ее средняя скорость движения в воздухе \(\langle v \rangle = 27 \frac{\text{км}}{\text{ч}}\). Дано: \(s = 150\) м \(\langle v \rangle = 27 \frac{\text{км}}{\text{ч}}\) Найти: \(t\) Решение: Сначала переведем скорость из \(\frac{\text{км}}{\text{ч}}\) в \(\frac{\text{м}}{\text{с}}\), так как расстояние дано в метрах. \(1 \text{ км} = 1000 \text{ м}\) \(1 \text{ ч} = 3600 \text{ с}\) \(\langle v \rangle = 27 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 27 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 27 \cdot \frac{10}{36} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \frac{270}{36} \frac{\text{м}}{\text{с}} = 7.5 \frac{\text{м}}{\text{с}}\) Для равномерного движения (или при использовании средней скорости) время можно найти по формуле: \[t = \frac{s}{\langle v \rangle}\] Подставим значения: \[t = \frac{150 \text{ м}}{7.5 \frac{\text{м}}{\text{с}}} = 20 \text{ с}\] Ответ: Продолжительность полета рыбы составляет 20 с. 3. Пользуясь графиком зависимости скорости движения от времени (рис. 2), определите путь, пройденный автобусом за промежуток времени \(\Delta t = 4\) ч. Решение: На графике (рис. 2) показана зависимость скорости \(v\) от времени \(t\). По графику видно, что скорость автобуса постоянна и равна \(v = 75 \frac{\text{км}}{\text{ч}}\) на всем промежутке времени от 0 до 5 часов. Нам нужно определить путь, пройденный автобусом за промежуток времени \(\Delta t = 4\) ч. Для равномерного движения путь \(s\) определяется как произведение скорости на время: \[s = v \cdot \Delta t\] Подставим значения: \[s = 75 \frac{\text{км}}{\text{ч}} \cdot 4 \text{ ч} = 300 \text{ км}\] Ответ: Путь, пройденный автобусом за 4 часа, составляет 300 км. 4. Поезд длиной \(l = 240\) м, двигаясь равномерно, проезжает мост за время \(t_1 = 2.0\) мин. Какова скорость движения поезда, если длина моста \(s = 360\) м? Дано: Длина поезда \(l = 240\) м Время проезда моста \(t_1 = 2.0\) мин Длина моста \(s = 360\) м Найти: Скорость поезда \(v\) Решение: Сначала переведем время из минут в секунды: \(t_1 = 2.0 \text{ мин} = 2.0 \cdot 60 \text{ с} = 120 \text{ с}\) Когда поезд проезжает мост, он должен пройти расстояние, равное сумме длины моста и своей собственной длины. Это потому, что момент, когда поезд "въезжает" на мост, считается, когда его голова достигает начала моста, а момент, когда он "выезжает" с моста, считается, когда его хвост покидает конец моста. Общее расстояние, которое проходит поезд: \[S_{\text{общее}} = s + l\] \[S_{\text{общее}} = 360 \text{ м} + 240 \text{ м} = 600 \text{ м}\] Скорость поезда при равномерном движении определяется как отношение пройденного расстояния ко времени: \[v = \frac{S_{\text{общее}}}{t_1}\] Подставим значения: \[v = \frac{600 \text{ м}}{120 \text{ с}} = 5 \frac{\text{м}}{\text{с}}\] Ответ: Скорость движения поезда составляет 5 \(\frac{\text{м}}{\text{с}}\). 5. Катер плыл по течению от одной пристани до другой со скоростью \(v_1 = 36 \frac{\text{км}}{\text{ч}}\). В обратную сторону он плыл со скоростью \(v_2 = 8.0 \frac{\text{м}}{\text{с}}\). Определите среднюю скорость движения катера на всем пути. Дано: Скорость по течению \(v_1 = 36 \frac{\text{км}}{\text{ч}}\) Скорость против течения \(v_2 = 8.0 \frac{\text{м}}{\text{с}}\) Найти: Средняя скорость \(\langle v \rangle\) на всем пути. Решение: Сначала переведем скорости в одну систему единиц, например, в \(\frac{\text{м}}{\text{с}}\). \(v_1 = 36 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 36 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 36 \cdot \frac{10}{36} \frac{\text{м}}{\text{с}} = 10 \frac{\text{м}}{\text{с}}\) \(v_2 = 8.0 \frac{\text{м}}{\text{с}}\) Пусть расстояние между пристанями равно \(S\). Время, затраченное на путь по течению: \[t_1 = \frac{S}{v_1}\] Время, затраченное на путь против течения: \[t_2 = \frac{S}{v_2}\] Общий путь, пройденный катером, равен \(S_{\text{общий}} = S + S = 2S\). Общее время, затраченное на весь путь, равно \(T_{\text{общий}} = t_1 + t_2\). \[T_{\text{общий}} = \frac{S}{v_1} + \frac{S}{v_2} = S \left( \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} \right) = S \frac{v_1 + v_2}{v_1 v_2}\] Средняя скорость на всем пути определяется как отношение общего пути к общему времени: \[\langle v \rangle = \frac{S_{\text{общий}}}{T_{\text{общий}}}\] \[\langle v \rangle = \frac{2S}{S \frac{v_1 + v_2}{v_1 v_2}}\] Сократим \(S\): \[\langle v \rangle = \frac{2}{\frac{v_1 + v_2}{v_1 v_2}} = \frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}\] Это формула для средней скорости, когда пройденные расстояния равны. Подставим значения \(v_1\) и \(v_2\): \[\langle v \rangle = \frac{2 \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot 8 \frac{\text{м}}{\text{с}}}{10 \frac{\text{м}}{\text{с}} + 8 \frac{\text{м}}{\text{с}}} = \frac{160 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}}{18 \frac{\text{м}}{\text{с}}} = \frac{160}{18} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \frac{80}{9} \frac{\text{м}}{\text{с}}\] Вычислим десятичное значение: \[\langle v \rangle \approx 8.89 \frac{\text{м}}{\text{с}}\] Если требуется ответ в \(\frac{\text{км}}{\text{ч}}\), переведем: \[\langle v \rangle = \frac{80}{9} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \frac{80}{9} \cdot \frac{3600 \text{ с}}{1000 \text{ м}} \frac{\text{км}}{\text{ч}} = \frac{80}{9} \cdot 3.6 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 80 \cdot 0.4 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 32 \frac{\text{км}}{\text{ч}}\] Ответ: Средняя скорость движения катера на всем пути составляет примерно 8.89 \(\frac{\text{м}}{\text{с}}\) или 32 \(\frac{\text{км}}{\text{ч}}\).