Решение задачи про смешивание растворов

Задача №1 Пусть \( m_1 \) — масса первого раствора (кг), а \( m_2 \) — масса второго раствора (кг). Концентрация кислоты в первом растворе составляет 40% (или 0,4), во втором — 48% (или 0,48). После смешивания масса нового раствора стала \( m_1 + m_2 \), а его концентрация — 42% (или 0,42). Составим уравнение по массе чистой кислоты: \[ 0,4m_1 + 0,48m_2 = 0,42(m_1 + m_2) \] Раскроем скобки: \[ 0,4m_1 + 0,48m_2 = 0,42m_1 + 0,42m_2 \] Перенесем слагаемые с \( m_1 \) в одну сторону, а с \( m_2 \) в другую: \[ 0,48m_2 - 0,42m_2 = 0,42m_1 - 0,4m_1 \] \[ 0,06m_2 = 0,02m_1 \] Найдем отношение \( m_1 \) к \( m_2 \): \[ \frac{m_1}{m_2} = \frac{0,06}{0,02} = \frac{6}{2} = \frac{3}{1} \] Ответ: растворы были взяты в отношении 3 : 1. Задача №2 Пусть \( x \) км/ч — собственная скорость баржи. Тогда скорость по течению равна \( x + 5 \) км/ч, а скорость против течения равна \( x - 5 \) км/ч. По условию задачи баржа прошла 72 км по течению и 54 км против течения, затратив на весь путь 9 часов. Составим уравнение времени: \[ \frac{72}{x + 5} + \frac{54}{x - 5} = 9 \] Разделим обе части уравнения на 9 для упрощения: \[ \frac{8}{x + 5} + \frac{6}{x - 5} = 1 \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{8(x - 5) + 6(x + 5)}{(x + 5)(x - 5)} = 1 \] \[ 8x - 40 + 6x + 30 = x^2 - 25 \] \[ 14x - 10 = x^2 - 25 \] Перенесем всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \[ x^2 - 14x - 15 = 0 \] Найдем корни через дискриминант: \[ D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256 \] \[ \sqrt{D} = 16 \] \[ x_1 = \frac{14 + 16}{2} = \frac{30}{2} = 15 \] \[ x_2 = \frac{14 - 16}{2} = -1 \] Так как скорость не может быть отрицательной, нам подходит только \( x = 15 \). Ответ: собственная скорость баржи 15 км/ч.