Решение задач по теории вероятностей

Решение задач по теории вероятностей. Задача 1. Дано: Всего телевизоров \( n = 1000 \). Бракованных телевизоров \( m = 5 \). Найти: \( P(A) \). Решение: По классическому определению вероятности: \[ P(A) = \frac{m}{n} = \frac{5}{1000} = 0,005 \] Ответ: 0,005. Задача 2. Дано: Красных — 9, желтых — 6, зеленых — 5. Всего шаров \( n = 9 + 6 + 5 = 20 \). Благоприятных исходов (желтых) \( m = 6 \). Решение: \[ P(A) = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} = 0,3 \] Ответ: 0,3. Задача 3. Дано: Имена: Петя, Вика, Катя, Игорь, Антон, Полина. Всего детей \( n = 6 \). Мальчиков (Петя, Игорь, Антон) \( m = 3 \). Решение: \[ P(A) = \frac{3}{6} = 0,5 \] Ответ: 0,5. Задача 4. Дано: Всего команд \( n = 16 \). Количество карточек с номером "2" равно \( m = 4 \). Решение: Вероятность того, что команда России вытянет карточку второй группы: \[ P(A) = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} = 0,25 \] Ответ: 0,25. Задача 5. Дано: Россия — 11, Норвегия — 6, Швеция — 3. Всего спортсменов \( n = 11 + 6 + 3 = 20 \). Спортсменов не из России \( m = 6 + 3 = 9 \). Решение: \[ P(A) = \frac{9}{20} = 0,45 \] Ответ: 0,45. Задача 6. Дано: Всего делений на циферблате \( n = 12 \). Благоприятный интервал: от 7 до 1 (это деления 7, 8, 9, 10, 11, 12). Количество часовых делений \( m = 6 \). Решение: \[ P(A) = \frac{6}{12} = 0,5 \] Ответ: 0,5. Задача 7. Дано: Возможные исходы при 2 бросках: ОО, ОР, РО, РР. Всего \( n = 4 \). Благоприятные исходы (ровно 1 орел): ОР, РО. Всего \( m = 2 \). Решение: \[ P(A) = \frac{2}{4} = 0,5 \] Ответ: 0,5. Задача 8. Дано: Всего исходов \( n = 4 \) (ОО, ОР, РО, РР). Орел не выпал ни разу (только РР) \( m = 1 \). Решение: \[ P(A) = \frac{1}{4} = 0,25 \] Ответ: 0,25. Задача 9. Дано: При 3 бросках всего исходов \( n = 2^3 = 8 \). Орел не выпал ни разу (только РРР) \( m = 1 \). Решение: \[ P(A) = \frac{1}{8} = 0,125 \] Ответ: 0,125. Задача 10. Дано: При 4 бросках всего исходов \( n = 2^4 = 16 \). Благоприятные исходы (ровно 2 орла): ООРР, ОРОР, ОРРО, РРОО, РОР О, РОО Р. Используем формулу сочетаний: \[ m = C_4^2 = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = 6 \] Решение: \[ P(A) = \frac{6}{16} = 0,375 \] Ответ: 0,375. Задача 11. Дано: Грань кубика \( n = 6 \). Нечетные числа (1, 3, 5) \( m = 3 \). Решение: \[ P(A) = \frac{3}{6} = 0,5 \] Ответ: 0,5. Задача 12. Дано: Всего исходов \( n = 6 \). Числа не больше 3 (1, 2, 3) \( m = 3 \). Решение: \[ P(A) = \frac{3}{6} = 0,5 \] Ответ: 0,5. Задача 13. Дано: Числа больше 3 на одном кубике: 4, 5, 6 (3 варианта). Вероятность на одном кубике \( p = \frac{3}{6} = 0,5 \). Решение: Так как броски независимы, вероятности перемножаются: \[ P = 0,5 \cdot 0,5 = 0,25 \] Ответ: 0,25. Задача 14. Дано: Всего исходов при 3 кубиках \( n = 6^3 = 216 \). Комбинации, дающие в сумме 7: (1,1,5) — 3 перестановки (1,2,4) — 6 перестановок (1,3,3) — 3 перестановки (2,2,3) — 3 перестановки Всего \( m = 3 + 6 + 3 + 3 = 15 \). Решение: \[ P(A) = \frac{15}{216} \approx 0,0694... \] Округляем до сотых: 0,07. Ответ: 0,07. Задача 15. Дано: Трехзначные числа: от 100 до 999. Всего \( n = 900 \). Числа, делящиеся на 5, оканчиваются на 0 или 5. В каждом десятке таких чисел 2. Количество таких чисел \( m = \frac{900}{5} = 180 \). Решение: \[ P(A) = \frac{180}{900} = \frac{1}{5} = 0,2 \] Ответ: 0,2.