Решение: Инъективность и Сюръективность функции f(n) = 2n + 1

Контрольная работа №2. Задание 1. Вариант 1. Дана функция \( f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \), заданная формулой \( f(n) = 2n + 1 \). 1. Проверим на инъективность. Функция называется инъективной, если из равенства \( f(n_1) = f(n_2) \) следует, что \( n_1 = n_2 \). Предположим: \[ 2n_1 + 1 = 2n_2 + 1 \] Вычтем единицу из обеих частей: \[ 2n_1 = 2n_2 \] Разделим на 2: \[ n_1 = n_2 \] Следовательно, функция является инъекцией. 2. Проверим на сюръективность. Функция называется сюръективной, если для любого целого числа \( m \in \mathbb{Z} \) существует такое целое число \( n \in \mathbb{Z} \), что \( f(n) = m \). Попробуем найти \( n \): \[ 2n + 1 = m \] \[ 2n = m - 1 \] \[ n = \frac{m - 1}{2} \] Для того чтобы функция была сюръективной, значение \( n \) должно быть целым числом для любого целого \( m \). Однако, если мы возьмем четное число, например \( m = 2 \), то: \[ n = \frac{2 - 1}{2} = 0.5 \] Число \( 0.5 \notin \mathbb{Z} \). Это означает, что число 2 не имеет прообраза в области определения. Функция принимает только нечетные значения. Следовательно, функция не является сюръекцией. 3. Проверим на биективность. Функция является биекцией тогда и только тогда, когда она одновременно инъективна и сюръективна. Так как условие сюръективности не выполняется, функция не является биекцией. Ответ: Функция является инъекцией, но не является сюръекцией и биекцией.