Доказать тождество: Ā⊕B = Ā⊕B = A⊕B⊕U

Задание 2. Вариант 1. Доказать тождество: \[ \overline{A \oplus B} = \overline{A} \oplus B = A \oplus B \oplus U \] (Примечание: в условии использован символ \(\otimes\), который в теории множеств часто обозначает симметрическую разность, обычно записываемую как \(\oplus\) или \(\triangle\). Будем использовать \(\oplus\)). Напомним основные свойства симметрической разности: 1. \( A \oplus B = (A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B) \) 2. \( A \oplus B = B \oplus A \) (коммутативность) 3. \( (A \oplus B) \oplus C = A \oplus (B \oplus C) \) (ассоциативность) 4. \( A \oplus U = \overline{A} \), где \( U \) — универсальное множество. 5. \( \overline{A} = A \oplus U \) Доказательство: 1. Докажем первую часть: \( \overline{A \oplus B} = \overline{A} \oplus B \) Используем свойство дополнения через симметрическую разность с универсальным множеством: \[ \overline{A \oplus B} = (A \oplus B) \oplus U \] В силу ассоциативности и коммутативности: \[ (A \oplus B) \oplus U = (A \oplus U) \oplus B \] Так как \( A \oplus U = \overline{A} \), получаем: \[ \overline{A} \oplus B \] Первая часть доказана. 2. Докажем вторую часть: \( \overline{A} \oplus B = A \oplus B \oplus U \) Снова воспользуемся определением дополнения \( \overline{A} = A \oplus U \): Подставим это выражение в левую часть: \[ (A \oplus U) \oplus B \] Используя свойство коммутативности (\( U \oplus B = B \oplus U \)): \[ A \oplus B \oplus U \] Вторая часть доказана. Таким образом, все три выражения тождественны: \[ \overline{A \oplus B} = \overline{A} \oplus B = A \oplus B \oplus U \] Что и требовалось доказать.