Решение:

Задание 2. Вариант 1. Доказать тождество: \(\overline{A \oplus B} = \overline{A} \oplus B = A \oplus B \oplus U\). Здесь символ \(\otimes\) в контексте теории множеств обычно обозначает симметрическую разность (чаще записывается как \(\oplus\) или \(\triangle\)). Будем использовать \(\oplus\). 1. Докажем, что \(\overline{A \oplus B} = \overline{A} \oplus B\). Вспомним определение: \(X \oplus Y = (X \cap \overline{Y}) \cup (\overline{X} \cap Y)\). Тогда правая часть: \[ \overline{A} \oplus B = (\overline{A} \cap \overline{B}) \cup (\overline{\overline{A}} \cap B) = (\overline{A} \cap \overline{B}) \cup (A \cap B) \] Это выражение соответствует логической операции "эквиваленция" (равенство), которая является отрицанием "исключающего ИЛИ" (симметрической разности). Левая часть: \[ \overline{A \oplus B} = \overline{(A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)} \] По закону де Моргана: \[ \overline{(A \cap \overline{B})} \cap \overline{(\overline{A} \cap B)} = (\overline{A} \cup B) \cap (A \cup \overline{B}) \] Раскроем скобки: \[ (\overline{A} \cap A) \cup (\overline{A} \cap \overline{B}) \cup (B \cap A) \cup (B \cap \overline{B}) = \varnothing \cup (\overline{A} \cap \overline{B}) \cup (A \cap B) \cup \varnothing = (\overline{A} \cap \overline{B}) \cup (A \cap B) \] Левая и правая части совпали. 2. Докажем, что \(\overline{A \oplus B} = A \oplus B \oplus U\). В теории множеств дополнение множества \(X\) выражается через универсальное множество \(U\) как \(\overline{X} = U \setminus X\). Для симметрической разности известно свойство: \(X \oplus U = \overline{X}\). Следовательно: \[ (A \oplus B) \oplus U = \overline{A \oplus B} \] Тождество доказано. Задание 3. Вариант 1. Дано множество \(M = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\) и отношение \(R_1: a R_1 b \iff a \equiv b \pmod 3\). 1. Проверим, является ли отношение эквивалентностью: - Рефлексивность: \(a \equiv a \pmod 3\) истинно для любого \(a\), так как \(a - a = 0\), а 0 делится на 3. - Симметричность: если \(a \equiv b \pmod 3\), то \(a - b = 3k\). Тогда \(b - a = 3(-k)\), значит \(b \equiv a \pmod 3\). - Транзитивность: если \(a \equiv b \pmod 3\) и \(b \equiv c \pmod 3\), то \(a - b = 3k\) и \(b - c = 3m\). Сложив, получим \(a - c = 3(k + m)\), значит \(a \equiv c \pmod 3\). Отношение является отношением эквивалентности. 2. Найдем классы эквивалентности (числа с одинаковым остатком при делении на 3): - Класс [0] (остаток 0): \(\{0, 3, 6, 9\}\) - Класс [1] (остаток 1): \(\{1, 4, 7\}\) - Класс [2] (остаток 2): \(\{2, 5, 8\}\) Ответ: Отношение является отношением эквивалентности. Классы: \(\{0, 3, 6, 9\}\), \(\{1, 4, 7\}\), \(\{2, 5, 8\}\).