Решение:

Задание 3. Вариант 1. Выясните, является ли отношение \( R_1 \) на множестве \( A = \{0, 1, \dots, 9\} \) отношением эквивалентности: \[ R_1: a R_1 b \leftrightarrow a \equiv b \pmod 3 \] Найдите классы эквивалентности. Решение: Отношение является отношением эквивалентности, если оно обладает тремя свойствами: рефлексивностью, симметричностью и транзитивностью. 1. Рефлексивность: Для любого \( a \in A \) верно, что \( a \equiv a \pmod 3 \), так как \( a - a = 0 \), а 0 делится на 3. Свойство выполняется. 2. Симметричность: Если \( a \equiv b \pmod 3 \), то \( (a - b) \) делится на 3. Тогда и \( (b - a) = -(a - b) \) делится на 3, то есть \( b \equiv a \pmod 3 \). Свойство выполняется. 3. Транзитивность: Если \( a \equiv b \pmod 3 \) и \( b \equiv c \pmod 3 \), то \( (a - b) = 3k \) и \( (b - c) = 3m \). Сложив равенства, получим \( a - c = 3(k + m) \), то есть \( a \equiv c \pmod 3 \). Свойство выполняется. Следовательно, \( R_1 \) — отношение эквивалентности. Классы эквивалентности (группируем числа по остатку от деления на 3): \[ [0] = \{0, 3, 6, 9\} \] \[ [1] = \{1, 4, 7\} \] \[ [2] = \{2, 5, 8\} \] Ответ: Отношение является отношением эквивалентности. Классы: {0, 3, 6, 9}, {1, 4, 7}, {2, 5, 8}. Задание 4. Вариант 1. Какое наибольшее число ребер может быть в несвязном графе с \( n \) вершинами? Решение: Чтобы граф с \( n \) вершинами был несвязным и имел при этом максимальное количество ребер, он должен состоять из двух компонент связности: 1. Полный граф \( K_{n-1} \) (содержащий \( n-1 \) вершину). 2. Изолированная вершина (1 вершина без ребер). Количество ребер в полном графе с \( k \) вершинами вычисляется по формуле: \[ E = \frac{k(k-1)}{2} \] Подставим \( k = n - 1 \): \[ E_{max} = \frac{(n-1)((n-1)-1)}{2} = \frac{(n-1)(n-2)}{2} \] Если мы добавим хотя бы одно ребро, соединяющее изолированную вершину с остальными, граф станет связным. Поэтому данное число является максимально возможным. Ответ: \[ \frac{(n-1)(n-2)}{2} \]