Решение задачи: Вероятность по формуле Бернулли

Задача 2. Дано: Количество испытаний \( n = 8 \). Вероятность выпадения пятёрки при одном броске \( p = \frac{1}{6} \). Вероятность того, что пятёрка не выпадет \( q = 1 - p = \frac{5}{6} \). Нужно найти вероятность того, что пятёрка выпадет от 4 до 6 раз, то есть \( k \in \{4, 5, 6\} \). Решение: Для решения воспользуемся формулой Бернулли: \[ P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \] где \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \). Искомая вероятность равна сумме вероятностей: \[ P = P_8(4) + P_8(5) + P_8(6) \] 1) Вычислим \( P_8(4) \): \[ C_8^4 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70 \] \[ P_8(4) = 70 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^4 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^4 = 70 \cdot \frac{1}{1296} \cdot \frac{625}{1296} = \frac{43750}{1679616} \approx 0,026048 \] 2) Вычислим \( P_8(5) \): \[ C_8^5 = C_8^3 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56 \] \[ P_8(5) = 56 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^5 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3 = 56 \cdot \frac{1}{7776} \cdot \frac{125}{216} = \frac{7000}{1679616} \approx 0,004168 \] 3) Вычислим \( P_8(6) \): \[ C_8^6 = C_8^2 = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28 \] \[ P_8(6) = 28 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^6 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2 = 28 \cdot \frac{1}{46656} \cdot \frac{25}{36} = \frac{700}{1679616} \approx 0,000417 \] 4) Находим общую вероятность: \[ P \approx 0,026048 + 0,004168 + 0,000417 = 0,030633 \] Округляем результат до тысячных: \[ P \approx 0,031 \] Ответ: 0,031