Решение: Механическое движение, Контрольная работа 1, Вариант 2

Вот решения задач, оформленные так, чтобы было удобно переписать в тетрадь. Механическое движение. Контрольная работа 1 Вариант 2 1. Какой из графиков (рис. 1) соответствует графику зависимости пути от времени при равномерном прямолинейном движении? Ответ: При равномерном прямолинейном движении тело за равные промежутки времени проходит равные расстояния. Это означает, что зависимость пути \(s\) от времени \(t\) является линейной функцией, и график представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат или параллельную оси времени, если начальный путь не равен нулю. На рисунке 1: График 1) показывает, что путь не меняется со временем, то есть тело покоится. График 2) показывает, что путь уменьшается со временем, что соответствует движению в обратном направлении с постоянной скоростью. График 3) показывает, что путь увеличивается со временем линейно, что соответствует равномерному прямолинейному движению. График 4) показывает, что скорость движения меняется, так как наклон графика меняется. Правильный ответ: График 3). 2. Летучая рыба, которая водится в тропических морях, может пролететь над водой расстояние \(s = 150\) м. Определите продолжительность полета рыбы, если ее средняя скорость движения в воздухе \(\langle v \rangle = 27 \frac{\text{км}}{\text{ч}}\). Дано: Расстояние \(s = 150\) м Средняя скорость \(\langle v \rangle = 27 \frac{\text{км}}{\text{ч}}\) Найти: Продолжительность полета \(t\) Решение: Сначала переведем скорость из \(\frac{\text{км}}{\text{ч}}\) в \(\frac{\text{м}}{\text{с}}\), так как расстояние дано в метрах. \(1 \text{ км} = 1000 \text{ м}\) \(1 \text{ ч} = 3600 \text{ с}\) \(\langle v \rangle = 27 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 27 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 27 \cdot \frac{10}{36} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \frac{270}{36} \frac{\text{м}}{\text{с}} = 7,5 \frac{\text{м}}{\text{с}}\) Для равномерного движения (или при использовании средней скорости) формула для пути: \(s = \langle v \rangle \cdot t\) Отсюда выразим время \(t\): \(t = \frac{s}{\langle v \rangle}\) Подставим значения: \(t = \frac{150 \text{ м}}{7,5 \frac{\text{м}}{\text{с}}} = 20 \text{ с}\) Ответ: Продолжительность полета рыбы составляет 20 с. 3. Пользуясь графиком зависимости скорости движения от времени (рис. 2), определите путь, пройденный автобусом за промежуток времени \(\Delta t = 4\) ч. Дано: График зависимости скорости от времени (рис. 2) Промежуток времени \(\Delta t = 4\) ч Найти: Пройденный путь \(s\) Решение: На графике (рис. 2) показана зависимость скорости \(v\) от времени \(t\). Из графика видно, что скорость автобуса постоянна и равна \(v = 75 \frac{\text{км}}{\text{ч}}\) на протяжении всего промежутка времени от 0 до 5 часов. Для равномерного движения путь определяется как произведение скорости на время: \(s = v \cdot \Delta t\) Подставим значения из графика и условия задачи: \(v = 75 \frac{\text{км}}{\text{ч}}\) \(\Delta t = 4 \text{ ч}\) \(s = 75 \frac{\text{км}}{\text{ч}} \cdot 4 \text{ ч} = 300 \text{ км}\) Ответ: Автобус прошел путь 300 км. 4. Поезд длиной \(l = 240\) м, двигаясь равномерно, проезжает мост за время \(t_1 = 2,0\) мин. Какова скорость движения поезда, если длина моста \(s = 360\) м? Дано: Длина поезда \(l = 240\) м Время проезда моста \(t_1 = 2,0\) мин Длина моста \(s = 360\) м Найти: Скорость движения поезда \(v\) Решение: Сначала переведем время из минут в секунды: \(t_1 = 2,0 \text{ мин} = 2,0 \cdot 60 \text{ с} = 120 \text{ с}\) Когда поезд проезжает мост, он должен пройти расстояние, равное сумме длины моста и своей собственной длины. Это потому, что момент "проезда моста" начинается, когда голова поезда въезжает на мост, и заканчивается, когда хвост поезда покидает мост. Общее расстояние \(S_{\text{общее}}\), которое проходит поезд: \(S_{\text{общее}} = s + l\) Подставим значения: \(S_{\text{общее}} = 360 \text{ м} + 240 \text{ м} = 600 \text{ м}\) Поскольку поезд движется равномерно, его скорость можно найти по формуле: \(v = \frac{S_{\text{общее}}}{t_1}\) Подставим значения: \(v = \frac{600 \text{ м}}{120 \text{ с}} = 5 \frac{\text{м}}{\text{с}}\) Ответ: Скорость движения поезда составляет 5 м/с. 5. Катер плыл по течению от одной пристани до другой со скоростью \(v_1 = 36 \frac{\text{км}}{\text{ч}}\). В обратную сторону он плыл со скоростью \(v_2 = 8,0 \frac{\text{м}}{\text{с}}\). Определите среднюю скорость движения катера на всем пути. Дано: Скорость по течению \(v_1 = 36 \frac{\text{км}}{\text{ч}}\) Скорость против течения \(v_2 = 8,0 \frac{\text{м}}{\text{с}}\) Найти: Средняя скорость на всем пути \(\langle v \rangle_{\text{общая}}\) Решение: Сначала переведем все скорости в одну систему единиц, например, в \(\frac{\text{м}}{\text{с}}\). \(v_1 = 36 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 36 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 36 \cdot \frac{10}{36} \frac{\text{м}}{\text{с}} = 10 \frac{\text{м}}{\text{с}}\) Скорость \(v_2\) уже дана в \(\frac{\text{м}}{\text{с}}\): \(v_2 = 8,0 \frac{\text{м}}{\text{с}}\). Средняя скорость на всем пути определяется как отношение всего пройденного пути ко всему затраченному времени. Пусть расстояние между пристанями равно \(S\). Тогда путь туда и обратно составляет \(S_{\text{общий}} = S + S = 2S\). Время, затраченное на путь по течению: \(t_1 = \frac{S}{v_1}\) Время, затраченное на путь против течения: \(t_2 = \frac{S}{v_2}\) Общее время в пути: \(t_{\text{общий}} = t_1 + t_2 = \frac{S}{v_1} + \frac{S}{v_2} = S \left( \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} \right) = S \frac{v_2 + v_1}{v_1 v_2}\) Средняя скорость на всем пути: \[\langle v \rangle_{\text{общая}} = \frac{S_{\text{общий}}}{t_{\text{общий}}} = \frac{2S}{S \frac{v_1 + v_2}{v_1 v_2}}\] \[\langle v \rangle_{\text{общая}} = \frac{2}{\frac{v_1 + v_2}{v_1 v_2}} = \frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}\] Подставим значения \(v_1 = 10 \frac{\text{м}}{\text{с}}\) и \(v_2 = 8 \frac{\text{м}}{\text{с}}\): \[\langle v \rangle_{\text{общая}} = \frac{2 \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot 8 \frac{\text{м}}{\text{с}}}{10 \frac{\text{м}}{\text{с}} + 8 \frac{\text{м}}{\text{с}}} = \frac{160 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}}{18 \frac{\text{м}}{\text{с}}}\] \[\langle v \rangle_{\text{общая}} = \frac{160}{18} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \frac{80}{9} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 8,89 \frac{\text{м}}{\text{с}}\] Если требуется ответ в \(\frac{\text{км}}{\text{ч}}\), переведем: \[\langle v \rangle_{\text{общая}} = \frac{80}{9} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \frac{80}{9} \cdot \frac{3600 \text{ с}}{1000 \text{ м}} \frac{\text{км}}{\text{ч}} = \frac{80}{9} \cdot 3,6 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 80 \cdot 0,4 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 32 \frac{\text{км}}{\text{ч}}\] Ответ: Средняя скорость движения катера на всем пути составляет примерно 8,89 м/с (или 32 км/ч).