Решение системы уравнений №344(а)

Задание №344 (а) Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} x^2 + 3xy - 8y^2 = 2 \\ 2x^2 - 5xy + y^2 = -1 \end{cases} \] Решение: Для решения данной системы воспользуемся методом сложения, чтобы избавиться от свободных членов в правой части и получить однородное уравнение. Умножим второе уравнение на 2: \[ \begin{cases} x^2 + 3xy - 8y^2 = 2 \\ 4x^2 - 10xy + 2y^2 = -2 \end{cases} \] Сложим уравнения системы: \[ (x^2 + 4x^2) + (3xy - 10xy) + (-8y^2 + 2y^2) = 2 - 2 \] \[ 5x^2 - 7xy - 6y^2 = 0 \] Полученное уравнение является однородным уравнением второй степени. Разделим обе части уравнения на \( y^2 \) (при условии, что \( y \neq 0 \). Если \( y = 0 \), то из уравнения следует \( 5x^2 = 0 \), то есть \( x = 0 \). Подставив \( (0; 0) \) в исходную систему, получим \( 0 = 2 \), что неверно. Значит, \( y \neq 0 \)): \[ 5\left(\frac{x}{y}\right)^2 - 7\left(\frac{x}{y}\right) - 6 = 0 \] Пусть \( \frac{x}{y} = t \), тогда: \[ 5t^2 - 7t - 6 = 0 \] \[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 49 + 120 = 169 = 13^2 \] \[ t_1 = \frac{7 + 13}{10} = 2; \quad t_2 = \frac{7 - 13}{10} = -0,6 \] Рассмотрим два случая: 1) Если \( \frac{x}{y} = 2 \), то \( x = 2y \). Подставим это выражение в первое уравнение исходной системы: \[ (2y)^2 + 3(2y)y - 8y^2 = 2 \] \[ 4y^2 + 6y^2 - 8y^2 = 2 \] \[ 2y^2 = 2 \] \[ y^2 = 1 \] Отсюда \( y_1 = 1, y_2 = -1 \). Тогда \( x_1 = 2 \cdot 1 = 2, x_2 = 2 \cdot (-1) = -2 \). 2) Если \( \frac{x}{y} = -0,6 = -\frac{3}{5} \), то \( x = -0,6y \). Подставим в первое уравнение: \[ (-0,6y)^2 + 3(-0,6y)y - 8y^2 = 2 \] \[ 0,36y^2 - 1,8y^2 - 8y^2 = 2 \] \[ -9,44y^2 = 2 \] \[ y^2 = -\frac{2}{9,44} \] Так как квадрат числа не может быть отрицательным, в этом случае действительных корней нет. Ответ: \( (2; 1), (-2; -1) \).