Решение системы уравнений: 2x² + 3xy + y² = 3, x² + 2xy - 5y² = -5

Решение системы уравнений: \[ \begin{cases} 2x^2 + 3xy + y^2 = 3 \\ x^2 + 2xy - 5y^2 = -5 \end{cases} \] Для решения данной системы воспользуемся методом исключения свободных членов, чтобы получить однородное уравнение. Умножим первое уравнение на 5, а второе на 3: \[ \begin{cases} 10x^2 + 15xy + 5y^2 = 15 \\ 3x^2 + 6xy - 15y^2 = -15 \end{cases} \] Сложим эти уравнения: \[ (10x^2 + 3x^2) + (15xy + 6xy) + (5y^2 - 15y^2) = 15 - 15 \] \[ 13x^2 + 21xy - 10y^2 = 0 \] Разделим обе части уравнения на \( y^2 \) (при условии, что \( y \neq 0 \). Если \( y = 0 \), то из первого уравнения \( 2x^2 = 3 \), а из второго \( x^2 = -5 \), что невозможно). Пусть \( \frac{x}{y} = t \), тогда \( x = ty \): \[ 13t^2 + 21t - 10 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = 21^2 - 4 \cdot 13 \cdot (-10) = 441 + 520 = 961 = 31^2 \] Корни уравнения: \[ t_1 = \frac{-21 + 31}{2 \cdot 13} = \frac{10}{26} = \frac{5}{13} \] \[ t_2 = \frac{-21 - 31}{26} = \frac{-52}{26} = -2 \] Рассмотрим два случая: 1) Если \( t = -2 \), то \( x = -2y \). Подставим во второе уравнение исходной системы: \[ (-2y)^2 + 2(-2y)y - 5y^2 = -5 \] \[ 4y^2 - 4y^2 - 5y^2 = -5 \] \[ -5y^2 = -5 \] \[ y^2 = 1 \] Отсюда \( y_1 = 1, y_2 = -1 \). Тогда \( x_1 = -2 \cdot 1 = -2 \), \( x_2 = -2 \cdot (-1) = 2 \). 2) Если \( t = \frac{5}{13} \), то \( x = \frac{5}{13}y \). Подставим в первое уравнение: \[ 2(\frac{5}{13}y)^2 + 3(\frac{5}{13}y)y + y^2 = 3 \] \[ 2 \cdot \frac{25}{169}y^2 + \frac{15}{13}y^2 + y^2 = 3 \] Приведем к общему знаменателю 169: \[ \frac{50y^2 + 195y^2 + 169y^2}{169} = 3 \] \[ \frac{414y^2}{169} = 3 \] \[ 414y^2 = 507 \] \[ y^2 = \frac{507}{414} = \frac{169}{138} \] Отсюда \( y_3 = \frac{13}{\sqrt{138}}, y_4 = -\frac{13}{\sqrt{138}} \). Тогда \( x_3 = \frac{5}{13} \cdot \frac{13}{\sqrt{138}} = \frac{5}{\sqrt{138}} \), \( x_4 = -\frac{5}{\sqrt{138}} \). Ответ: \( (-2; 1), (2; -1), (\frac{5}{\sqrt{138}}; \frac{13}{\sqrt{138}}), (-\frac{5}{\sqrt{138}}; -\frac{13}{\sqrt{138}}) \).