Решение задачи: MN || AC, Найти AM

Ниже представлено решение задач с соблюдением всех ваших требований к оформлению. Задача 29 Дано: \( \triangle ABC \), \( MN \parallel AC \), \( AB = 28 \), \( AC = 21 \), \( MN = 15 \). Найти: \( AM \). Решение: 1. Рассмотрим треугольники \( MBN \) и \( ABC \). Так как \( MN \parallel AC \), то \( \angle BMN = \angle BAC \) и \( \angle BNM = \angle BCA \) как соответствующие углы при параллельных прямых и секущих. 2. Следовательно, \( \triangle MBN \sim \triangle ABC \) по двум углам. 3. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: \[ \frac{MN}{AC} = \frac{MB}{AB} \] 4. Подставим известные значения: \[ \frac{15}{21} = \frac{MB}{28} \] 5. Сократим дробь \( \frac{15}{21} \) на 3, получим \( \frac{5}{7} \). Тогда: \[ MB = \frac{5 \cdot 28}{7} = 5 \cdot 4 = 20 \] 6. Отрезок \( AM \) найдем как разность: \[ AM = AB - MB = 28 - 20 = 8 \] Ответ: 8. Задача 30 Дано: \( \triangle ABC \), \( MN \parallel AC \), \( AC = 20 \), \( MN = 12 \), \( S_{ABC} = 100 \). Найти: \( S_{MBN} \). Решение: 1. Аналогично предыдущей задаче, \( \triangle MBN \sim \triangle ABC \) по двум углам (так как \( MN \parallel AC \)). 2. Найдем коэффициент подобия \( k \): \[ k = \frac{MN}{AC} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} = 0,6 \] 3. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия: \[ \frac{S_{MBN}}{S_{ABC}} = k^2 \] 4. Вычислим площадь \( S_{MBN} \): \[ S_{MBN} = S_{ABC} \cdot k^2 = 100 \cdot (0,6)^2 = 100 \cdot 0,36 = 36 \] Ответ: 36. Задача 31 Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^\circ \), \( CH \perp AB \), \( AH = 2 \), \( BH = 8 \). Найти: \( CH \). Решение: 1. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, есть среднее геометрическое проекций катетов на гипотенузу. 2. Формула: \[ CH^2 = AH \cdot BH \] 3. Подставим значения: \[ CH^2 = 2 \cdot 8 = 16 \] \[ CH = \sqrt{16} = 4 \] Ответ: 4. Задача 32 Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle B = 90^\circ \), \( BH \perp AC \), \( AH = 7 \), \( AC = 28 \). Найти: \( AB \). Решение: 1. Катет прямоугольного треугольника есть среднее геометрическое между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. 2. Формула для катета \( AB \): \[ AB^2 = AH \cdot AC \] 3. Подставим значения: \[ AB^2 = 7 \cdot 28 \] \[ AB^2 = 7 \cdot (7 \cdot 4) = 49 \cdot 4 = 196 \] 4. Извлечем корень: \[ AB = \sqrt{196} = 14 \] Ответ: 14.