Решение задачи: Площадь трапеции в параллелограмме

Дано: \(ABCD\) — параллелограмм. \(AB = 4\). \(AD = 7\). На стороне \(BC\) отмечена точка (пусть это будет точка \(K\)), такая что \(BK = 4\). Угол между секущей \(AK\) и стороной \(BC\) равен \(15^\circ\). Найти: Площадь закрашенной фигуры (трапеции \(AKCD\)). Решение: 1. Рассмотрим треугольник \(ABK\). По условию \(AB = 4\) и \(BK = 4\), следовательно, треугольник \(ABK\) — равнобедренный. 2. Так как \(BC \parallel AD\) (стороны параллелограмма), то накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей \(AK\) равны. Значит, \(\angle BAK = \angle BKA = 15^\circ\). 3. В равнобедренном треугольнике \(ABK\) углы при основании равны, то есть \(\angle BAK = \angle BKA = 15^\circ\). Найдем угол \(B\): \[ \angle B = 180^\circ - (15^\circ + 15^\circ) = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ \] 4. Найдем площадь всего параллелограмма \(ABCD\) по формуле \(S = AB \cdot AD \cdot \sin(B)\): \[ S_{ABCD} = 4 \cdot 7 \cdot \sin(150^\circ) \] Так как \(\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = 0,5\), получаем: \[ S_{ABCD} = 28 \cdot 0,5 = 14 \] 5. Закрашенная фигура \(AKCD\) представляет собой разность площадей параллелограмма \(ABCD\) и треугольника \(ABK\). Найдем площадь треугольника \(ABK\): \[ S_{ABK} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BK \cdot \sin(B) \] \[ S_{ABK} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \cdot \sin(150^\circ) = 8 \cdot 0,5 = 4 \] 6. Вычислим площадь закрашенной фигуры: \[ S_{AKCD} = S_{ABCD} - S_{ABK} = 14 - 4 = 10 \] Ответ: 10