Решение задачи: Найти медиану AD треугольника ABC

Задача №3. Дано: Треугольник \(ABC\), \(AB = 2\), \(AC = 3\sqrt{2}\), \(\angle BAC = 45^{\circ}\). \(AD\) — медиана. Найти: \(AD\). Решение: 1. Для нахождения длины медианы треугольника воспользуемся стандартной формулой через длины сторон. Пусть \(AB = c\), \(AC = b\), \(BC = a\). Тогда длина медианы \(m_a\), проведенной к стороне \(a\), вычисляется по формуле: \[ AD = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2} \] 2. Сначала найдем длину стороны \(BC\) (сторона \(a\)) по теореме косинусов для треугольника \(ABC\): \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC) \] Подставим известные значения: \[ BC^2 = 2^2 + (3\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \cos(45^{\circ}) \] Так как \(\cos(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), получаем: \[ BC^2 = 4 + (9 \cdot 2) - 12\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ BC^2 = 4 + 18 - 12 \cdot \frac{2}{2} \] \[ BC^2 = 22 - 12 = 10 \] Следовательно, \(BC = \sqrt{10}\). 3. Теперь подставим все значения в формулу медианы: \[ AD = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 2^2 + 2 \cdot (3\sqrt{2})^2 - 10} \] \[ AD = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 4 + 2 \cdot 18 - 10} \] \[ AD = \frac{1}{2} \sqrt{8 + 36 - 10} \] \[ AD = \frac{1}{2} \sqrt{34} \] Ответ: \(AD = \frac{\sqrt{34}}{2}\).