Решение задачи: Сумма скалярных произведений векторов медиан

Задача №4. Дано: В треугольнике \(ABC\) проведены медианы \(AD\), \(BE\) и \(CF\). Вычислить: \[ S = \vec{BC} \cdot \vec{AD} + \vec{CA} \cdot \vec{BE} + \vec{AB} \cdot \vec{CF} \] Решение: 1. Выразим векторы медиан через векторы сторон треугольника. По определению медианы (как вектора, идущего в середину противоположной стороны): \[ \vec{AD} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}) \] \[ \vec{BE} = \frac{1}{2}(\vec{BA} + \vec{BC}) \] \[ \vec{CF} = \frac{1}{2}(\vec{CA} + \vec{CB}) \] 2. Подставим эти выражения в искомую сумму \(S\): \[ S = \vec{BC} \cdot \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}) + \vec{CA} \cdot \frac{1}{2}(\vec{BA} + \vec{BC}) + \vec{AB} \cdot \frac{1}{2}(\vec{CA} + \vec{CB}) \] 3. Вынесем общий множитель \(\frac{1}{2}\) за скобки и раскроем скалярные произведения: \[ S = \frac{1}{2} (\vec{BC} \cdot \vec{AB} + \vec{BC} \cdot \vec{AC} + \vec{CA} \cdot \vec{BA} + \vec{CA} \cdot \vec{BC} + \vec{AB} \cdot \vec{CA} + \vec{AB} \cdot \vec{CB}) \] 4. Сгруппируем слагаемые, учитывая свойства скалярного произведения (\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\)) и направление векторов (например, \(\vec{CB} = -\vec{BC}\)): \[ \vec{BC} \cdot \vec{AC} + \vec{CA} \cdot \vec{BC} = \vec{BC} \cdot \vec{AC} - \vec{AC} \cdot \vec{BC} = 0 \] \[ \vec{CA} \cdot \vec{BA} + \vec{AB} \cdot \vec{CA} = \vec{CA} \cdot \vec{BA} - \vec{BA} \cdot \vec{CA} = 0 \] \[ \vec{BC} \cdot \vec{AB} + \vec{AB} \cdot \vec{CB} = \vec{BC} \cdot \vec{AB} - \vec{AB} \cdot \vec{BC} = 0 \] 5. Таким образом, все слагаемые внутри скобок взаимно уничтожаются: \[ S = \frac{1}{2} (0 + 0 + 0) = 0 \] Ответ: 0.