Решение выражения со степенями: 81^0.75 * 32^-0.4

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику: Найти значение выражения: \[ 81^{0,75} \cdot 32^{-0,4} - 8^{-\frac{2}{3}} \cdot 27^{\frac{1}{3}} + 256^{0,5} \] Решение: Сначала переведем десятичные дроби в обыкновенные и представим числа в виде степеней: 1. Преобразуем показатели степени: \( 0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4} \) \( -0,4 = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5} \) \( 0,5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \) 2. Представим основания степеней в виде простых чисел в степени: \( 81 = 3^4 \) \( 32 = 2^5 \) \( 8 = 2^3 \) \( 27 = 3^3 \) \( 256 = 2^8 \) или \( 256 = 16^2 \) Теперь подставим эти значения в исходное выражение: \[ (3^4)^{\frac{3}{4}} \cdot (2^5)^{-\frac{2}{5}} - (2^3)^{-\frac{2}{3}} \cdot (3^3)^{\frac{1}{3}} + (16^2)^{\frac{1}{2}} \] Используем свойство степеней \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\): 1. Вычислим первый член выражения: \( (3^4)^{\frac{3}{4}} = 3^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 3^3 = 27 \) \( (2^5)^{-\frac{2}{5}} = 2^{5 \cdot (-\frac{2}{5})} = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} \) Тогда первый член равен: \( 27 \cdot \frac{1}{4} = \frac{27}{4} \) 2. Вычислим второй член выражения: \( (2^3)^{-\frac{2}{3}} = 2^{3 \cdot (-\frac{2}{3})} = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} \) \( (3^3)^{\frac{1}{3}} = 3^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 3^1 = 3 \) Тогда второй член равен: \( \frac{1}{4} \cdot 3 = \frac{3}{4} \) 3. Вычислим третий член выражения: \( (16^2)^{\frac{1}{2}} = 16^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 16^1 = 16 \) Теперь подставим полученные значения обратно в выражение: \[ \frac{27}{4} - \frac{3}{4} + 16 \] Выполним вычитание и сложение: \[ \frac{27}{4} - \frac{3}{4} = \frac{27 - 3}{4} = \frac{24}{4} = 6 \] \[ 6 + 16 = 22 \] Окончательный ответ: \[ 22 \] Ответ: 22.