Задача №8
Дано:
- Площадь контура \(S = 400 \text{ см}^2\)
- Емкость конденсатора \(C = 10 \text{ мкФ}\)
- Закон изменения магнитной индукции \(B = (2 + 5t) \cdot 10^{-2} \text{ Тл}\)
Найти:
- Максимальный заряд конденсатора \(Q_{max}\)
- Максимальную энергию конденсатора \(W_{max}\)
- Какая пластина конденсатора зарядится положительно?
Решение:
1. Переведем все величины в систему СИ:
- Площадь контура: \(S = 400 \text{ см}^2 = 400 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 400 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.04 \text{ м}^2\)
- Емкость конденсатора: \(C = 10 \text{ мкФ} = 10 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} = 10^{-5} \text{ Ф}\)
2. Определим магнитный поток, пронизывающий контур. Поскольку линии магнитной индукции перпендикулярны плоскости контура, магнитный поток \(\Phi\) равен произведению магнитной индукции \(B\) на площадь контура \(S\):
\[\Phi = B \cdot S\] \[\Phi = (2 + 5t) \cdot 10^{-2} \cdot 0.04\] \[\Phi = (2 + 5t) \cdot 4 \cdot 10^{-4} \text{ Вб}\]3. Найдем ЭДС индукции, возникающую в контуре, по закону Фарадея:
\[\mathcal{E}_i = -\frac{d\Phi}{dt}\] \[\mathcal{E}_i = -\frac{d}{dt} ((2 + 5t) \cdot 4 \cdot 10^{-4})\] \[\mathcal{E}_i = -(5 \cdot 4 \cdot 10^{-4})\] \[\mathcal{E}_i = -20 \cdot 10^{-4} \text{ В}\] \[\mathcal{E}_i = -0.002 \text{ В}\] Модуль ЭДС индукции: \(|\mathcal{E}_i| = 0.002 \text{ В}\).4. Конденсатор заряжается до напряжения, равного ЭДС индукции. Максимальное напряжение на конденсаторе \(U_{max}\) будет равно модулю ЭДС индукции:
\[U_{max} = |\mathcal{E}_i| = 0.002 \text{ В}\]5. Определим максимальный заряд конденсатора \(Q_{max}\):
\[Q_{max} = C \cdot U_{max}\] \[Q_{max} = 10^{-5} \text{ Ф} \cdot 0.002 \text{ В}\] \[Q_{max} = 10^{-5} \cdot 2 \cdot 10^{-3} \text{ Кл}\] \[Q_{max} = 2 \cdot 10^{-8} \text{ Кл}\]6. Определим максимальную энергию конденсатора \(W_{max}\):
\[W_{max} = \frac{C \cdot U_{max}^2}{2}\] \[W_{max} = \frac{10^{-5} \text{ Ф} \cdot (0.002 \text{ В})^2}{2}\] \[W_{max} = \frac{10^{-5} \cdot (2 \cdot 10^{-3})^2}{2}\] \[W_{max} = \frac{10^{-5} \cdot 4 \cdot 10^{-6}}{2}\] \[W_{max} = \frac{4 \cdot 10^{-11}}{2}\] \[W_{max} = 2 \cdot 10^{-11} \text{ Дж}\]7. Определим, какая пластина конденсатора зарядится положительно. Магнитная индукция \(B\) направлена "от нас" (обозначено крестиками "X"). Магнитная индукция возрастает со временем, так как \(B = (2 + 5t) \cdot 10^{-2}\) (коэффициент при \(t\) положительный). По правилу Ленца, индукционный ток будет создавать магнитное поле, препятствующее увеличению внешнего магнитного потока. То есть, индукционное магнитное поле должно быть направлено "к нам". По правилу правой руки (или правилу буравчика), чтобы создать магнитное поле, направленное "к нам", индукционный ток должен течь против часовой стрелки. На рисунке конденсатор подключен к контуру. Ток, текущий против часовой стрелки, будет втекать в верхнюю пластину конденсатора и вытекать из нижней. Следовательно, верхняя пластина конденсатора зарядится положительно, а нижняя – отрицательно.
Ответ:
- Максимальный заряд конденсатора \(Q_{max} = 2 \cdot 10^{-8} \text{ Кл}\).
- Максимальная энергия конденсатора \(W_{max} = 2 \cdot 10^{-11} \text{ Дж}\).
- Положительно зарядится верхняя пластина конденсатора.