Решение системы уравнений: Вариант 4

Контрольная работа по теме «Системы уравнений» Вариант 4 № 1. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} x - 5y = 2 \\ x^2 - y = 10 \end{cases} \] Решение: 1) Из первого уравнения выразим \(x\): \[ x = 2 + 5y \] 2) Подставим это выражение во второе уравнение: \[ (2 + 5y)^2 - y = 10 \] \[ 4 + 20y + 25y^2 - y - 10 = 0 \] \[ 25y^2 + 19y - 6 = 0 \] \[ D = 19^2 - 4 \cdot 25 \cdot (-6) = 361 + 600 = 961 = 31^2 \] \[ y_1 = \frac{-19 + 31}{50} = \frac{12}{50} = 0,24 \] \[ y_2 = \frac{-19 - 31}{50} = \frac{-50}{50} = -1 \] 3) Найдем значения \(x\): Если \(y_1 = 0,24\), то \(x_1 = 2 + 5 \cdot 0,24 = 2 + 1,2 = 3,2\) Если \(y_2 = -1\), то \(x_2 = 2 + 5 \cdot (-1) = 2 - 5 = -3\) Ответ: \((3,2; 0,24), (-3; -1)\). № 2. Периметр прямоугольника равен 26 см, а его площадь равна 42 см\(^2\). Найдите стороны прямоугольника. Решение: Пусть \(a\) и \(b\) — стороны прямоугольника. Составим систему: \[ \begin{cases} 2(a + b) = 26 \\ a \cdot b = 42 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a + b = 13 \\ a \cdot b = 42 \end{cases} \] По теореме Виета \(a\) и \(b\) являются корнями уравнения: \[ t^2 - 13t + 42 = 0 \] \[ D = 169 - 168 = 1 \] \[ t_1 = \frac{13 + 1}{2} = 7; \quad t_2 = \frac{13 - 1}{2} = 6 \] Стороны равны 7 см и 6 см. Ответ: 6 см и 7 см. № 3. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения параболы \(y = x^2 - 8\) и прямой \(x + y = 4\). Решение: Составим систему: \[ \begin{cases} y = x^2 - 8 \\ x + y = 4 \end{cases} \] Подставим \(y\) из первого уравнения во второе: \[ x + (x^2 - 8) = 4 \] \[ x^2 + x - 12 = 0 \] По теореме Виета: \[ x_1 = -4; \quad x_2 = 3 \] Найдем \(y\): Если \(x_1 = -4\), то \(y_1 = 4 - (-4) = 8\) Если \(x_2 = 3\), то \(y_2 = 4 - 3 = 1\) Ответ: \((-4; 8), (3; 1)\). № 4. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} 5x^2 + y = 12 \\ 9x^2 - y = 2 \end{cases} \] Решение: Сложим уравнения: \[ 14x^2 = 14 \] \[ x^2 = 1 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = -1 \] Подставим \(x^2 = 1\) в первое уравнение: \[ 5 \cdot 1 + y = 12 \Rightarrow y = 7 \] Ответ: \((1; 7), (-1; 7)\). № 5. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{12} \\ 5x - y = 18 \end{cases} \] Решение: Выразим \(y = 5x - 18\) и подставим в первое уравнение: \[ \frac{1}{x} - \frac{1}{5x - 18} = \frac{1}{12} \] \[ \frac{5x - 18 - x}{x(5x - 18)} = \frac{1}{12} \Rightarrow \frac{4x - 18}{5x^2 - 18x} = \frac{1}{12} \] \[ 12(4x - 18) = 5x^2 - 18x \] \[ 48x - 216 = 5x^2 - 18x \] \[ 5x^2 - 66x + 216 = 0 \] \[ D = (-66)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 216 = 4356 - 4320 = 36 = 6^2 \] \[ x_1 = \frac{66 + 6}{10} = 7,2; \quad x_2 = \frac{66 - 6}{10} = 6 \] Найдем \(y\): Если \(x_1 = 7,2\), то \(y_1 = 5 \cdot 7,2 - 18 = 36 - 18 = 18\) Если \(x_2 = 6\), то \(y_2 = 5 \cdot 6 - 18 = 30 - 18 = 12\) Ответ: \((7,2; 18), (6; 12)\).