Решение задачи: Уравнение окружности и прямой

Вариант II Задача 1. Дано: центр окружности \(M(2; -4)\), точка на окружности \(N(-3; 1)\). Найти: уравнение окружности. Решение: 1) Общее уравнение окружности имеет вид: \[(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2\] где \((a; b)\) — координаты центра, \(R\) — радиус. По условию \(a = 2\), \(b = -4\). 2) Радиус \(R\) равен расстоянию между точками \(M\) и \(N\). Вычислим квадрат радиуса по формуле расстояния между точками: \[R^2 = (x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2\] \[R^2 = (-3 - 2)^2 + (1 - (-4))^2\] \[R^2 = (-5)^2 + (5)^2 = 25 + 25 = 50\] 3) Подставим координаты центра и квадрат радиуса в уравнение: \[(x - 2)^2 + (y - (-4))^2 = 50\] \[(x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 50\] Ответ: \((x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 50\). Задача 2. Дано: начало координат \(O(0; 0)\), точка \(C(-6; -3)\). Найти: уравнение прямой. Решение: 1) Уравнение прямой, проходящей через начало координат, имеет вид \(y = kx\). 2) Подставим координаты точки \(C\) в это уравнение, чтобы найти коэффициент \(k\): \[-3 = k \cdot (-6)\] \[k = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2} = 0,5\] 3) Таким образом, уравнение прямой: \[y = 0,5x\] Ответ: \(y = 0,5x\). Задача 3. Дано: прямая \(y = 25\), окружность \((x - 5)^2 + (y - 7)^2 = 100\). Выяснить: взаимное расположение. Решение: 1) Из уравнения окружности определим координаты центра и радиус: Центр \(A(5; 7)\), радиус \(R = \sqrt{100} = 10\). 2) Прямая \(y = 25\) — это горизонтальная прямая. Расстояние \(d\) от центра окружности \(A(5; 7)\) до этой прямой равно разности их ординат: \[d = |25 - 7| = 18\] 3) Сравним расстояние \(d\) с радиусом \(R\): Так как \(d = 18\), а \(R = 10\), то \(d > R\). 4) Если расстояние от центра до прямой больше радиуса, то прямая и окружность не имеют общих точек. Ответ: прямая и окружность не пересекаются (не имеют общих точек).