Решение: Построение графика функции y = |x^2 - 2x - 3|

Построение графика функции \(y = |x^2 - 2x - 3|\). Для того чтобы построить график функции с модулем, сначала построим график вспомогательной квадратичной функции \(f(x) = x^2 - 2x - 3\), а затем отразим части, лежащие ниже оси \(Ox\), вверх. 1. Исследование функции \(f(x) = x^2 - 2x - 3\): Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при \(x^2\) равен \(1 > 0\)). Найдем координаты вершины параболы \((x_0; y_0)\): \[ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1 \] \[ y_0 = f(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4 \] Вершина в точке \((1; -4)\). Найдем точки пересечения с осью \(Ox\) (нули функции): \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] По теореме Виета: \[ x_1 + x_2 = 2 \] \[ x_1 \cdot x_2 = -3 \] Отсюда \(x_1 = 3\), \(x_2 = -1\). Точки: \((3; 0)\) и \((-1; 0)\). Точка пересечения с осью \(Oy\): \[ f(0) = 0^2 - 2 \cdot 0 - 3 = -3 \] Точка: \((0; -3)\). 2. Построение итогового графика \(y = |x^2 - 2x - 3|\): Алгоритм: - Строим пунктиром параболу по найденным точкам. - Те части параболы, которые находятся выше оси \(Ox\) или на ней (где \(y \ge 0\)), оставляем без изменений. - Часть параболы, которая находится ниже оси \(Ox\) (вершина и прилегающая область), зеркально отражаем относительно оси \(Ox\) вверх. Новые координаты ключевых точек для итогового графика: - Вершина станет \((1; 4)\) вместо \((1; -4)\). - Точка на оси \(Oy\) станет \((0; 3)\) вместо \((0; -3)\). - Точки на оси \(Ox\) \((-1; 0)\) и \((3; 0)\) останутся на месте. Итоговый график будет иметь вид "W-образной" кривой, лежащей полностью в верхней полуплоскости.