Решение самостоятельной работы С-17: Неравенства методом интервалов

Решение самостоятельной работы С-17 "Решение неравенств методом интервалов". 1. Решите неравенство: а) \( (x - 1)(x - 3) > 0 \) Найдем корни уравнения \( (x - 1)(x - 3) = 0 \): \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 3 \). Отметим точки на числовой прямой (точки выколотые, так как знак строго больше). Определим знаки на интервалах: На \( (3; +\infty) \) знак "+", на \( (1; 3) \) знак "-", на \( (-\infty; 1) \) знак "+". Нам нужен интервал со знаком "+". Ответ: \( x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty) \). б) \( (x + 2)(x - 5) < 0 \) Корни: \( x_1 = -2 \), \( x_2 = 5 \). Отметим выколотые точки на прямой. Знаки: \( + \) на \( (5; +\infty) \), \( - \) на \( (-2; 5) \), \( + \) на \( (-\infty; -2) \). Нам нужен интервал со знаком "-". Ответ: \( x \in (-2; 5) \). в) \( (x + 9)(x + 1)(x - 11) > 0 \) Корни: \( x_1 = -9 \), \( x_2 = -1 \), \( x_3 = 11 \). Расставим знаки справа налево, начиная с плюса: \( + \), \( - \), \( + \), \( - \). Выбираем интервалы со знаком "+". Ответ: \( x \in (-9; -1) \cup (11; +\infty) \). г) \( x(x + 8)(x - 17) \le 0 \) Корни: \( x_1 = 0 \), \( x_2 = -8 \), \( x_3 = 17 \). Точки закрашенные, так как неравенство нестрогое. Знаки: \( + \) на \( [17; +\infty) \), \( - \) на \( [0; 17] \), \( + \) на \( [-8; 0] \), \( - \) на \( (-\infty; -8] \). Выбираем интервалы со знаком "-". Ответ: \( x \in (-\infty; -8] \cup [0; 17] \). 2. Решите неравенство: а) \( (x + 3)(x - 8)(x - 20) > 0 \) Корни: \( x_1 = -3 \), \( x_2 = 8 \), \( x_3 = 20 \). Знаки: \( + \) на \( (20; +\infty) \), \( - \) на \( (8; 20) \), \( + \) на \( (-3; 8) \), \( - \) на \( (-\infty; -3) \). Выбираем интервалы со знаком "+". Ответ: \( x \in (-3; 8) \cup (20; +\infty) \). б) \( x(x + 10)(x - 3) \le 0 \) Корни: \( x_1 = 0 \), \( x_2 = -10 \), \( x_3 = 3 \). Точки закрашенные. Знаки: \( + \) на \( [3; +\infty) \), \( - \) на \( [0; 3] \), \( + \) на \( [-10; 0] \), \( - \) на \( (-\infty; -10] \). Выбираем интервалы со знаком "-". Ответ: \( x \in (-\infty; -10] \cup [0; 3] \).