Решение контрольной работы по геометрии. Вариант 1

Контрольная работа по геометрии. Вариант 1. Задача 1. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle A = 74^\circ \), \( \angle B = 36^\circ \). Найти: \( \angle C \). Решение: Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \). \[ \angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) \] \[ \angle C = 180^\circ - (74^\circ + 36^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \] Ответ: \( 70^\circ \). Задача 2. Дано: равнобедренный треугольник, угол при основании равен \( 38^\circ \). Найти: углы треугольника. Решение: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, два угла по \( 38^\circ \). Третий угол (при вершине): \[ 180^\circ - (38^\circ + 38^\circ) = 180^\circ - 76^\circ = 104^\circ \] Ответ: \( 38^\circ, 38^\circ, 104^\circ \). Задача 3. Дано: равнобедренный треугольник, угол против основания равен \( 57^\circ \). Найти: углы треугольника. Решение: Угол против основания — это угол при вершине. Сумма углов при основании равна: \[ 180^\circ - 57^\circ = 123^\circ \] Так как углы при основании равны, каждый из них равен: \[ 123^\circ : 2 = 61,5^\circ \text{ или } 61^\circ 30' \] Ответ: \( 57^\circ, 61,5^\circ, 61,5^\circ \). Задача 4. Дано: углы относятся как \( 4 : 5 : 6 \). Найти: углы треугольника. Решение: Пусть \( x \) — коэффициент пропорциональности. Тогда углы равны \( 4x, 5x, 6x \). \[ 4x + 5x + 6x = 180^\circ \] \[ 15x = 180^\circ \] \[ x = 12^\circ \] Углы: \( 4 \cdot 12^\circ = 48^\circ \) \( 5 \cdot 12^\circ = 60^\circ \) \( 6 \cdot 12^\circ = 72^\circ \) Ответ: \( 48^\circ, 60^\circ, 72^\circ \). Задача 5. Дано: \( P = 60 \) м, треугольник равнобедренный. Одна сторона на 6 м меньше другой. Найти: стороны. Решение: Рассмотрим два случая. 1) Боковая сторона \( x \), основание \( x - 6 \). \[ x + x + (x - 6) = 60 \] \[ 3x = 66 \Rightarrow x = 22 \] Стороны: 22 м, 22 м, 16 м. (Условие треугольника \( 22+16 > 22 \) выполняется). 2) Основание \( x \), боковая сторона \( x - 6 \). \[ x + (x - 6) + (x - 6) = 60 \] \[ 3x - 12 = 60 \Rightarrow 3x = 72 \Rightarrow x = 24 \] Стороны: 24 м, 18 м, 18 м. (Условие \( 18+18 > 24 \) выполняется). Ответ: 22, 22, 16 или 24, 18, 18. Задача 6. Дано: углы относятся как \( 11 : 10 : 15 \). Найти: углы. Решение: \[ 11x + 10x + 15x = 180^\circ \] \[ 36x = 180^\circ \Rightarrow x = 5^\circ \] Углы: \( 11 \cdot 5^\circ = 55^\circ \) \( 10 \cdot 5^\circ = 50^\circ \) \( 15 \cdot 5^\circ = 75^\circ \) Ответ: \( 55^\circ, 50^\circ, 75^\circ \).